Gara-Gara Gravitasi

Bagi banyak manusia zaman modern, jarang sekali pola perubahan posisi benda langit dianggap penting. Bagaimana tidak demikian? Toh untuk mengetahui waktu lokal, telah ada jam elektronik. Untuk mendapatkan makanan, telah ada beragam upaya intensifikasi, ekstensifikasi, serta pemasaran sehingga kebanyakan manusia tidak menaruh perhatian pada pergantian musim. Untuk bepergian, telah ada berbagai-bagai sarana angkutan yang bukan hanya tidak tergantung cuaca, namun bahkan juga sanggup menahan hempasan gelombang. Merupakan hal yang lumrah jika kebanyakan manusia modern jarang mengerahkan kemampuan berpikirnya untuk memeriksa perubahan posisi benda langit. Meskipun demikian, ada masanya pengetahuan perubahan posisi benda langit sedemikian lazim, seperti lazimnya komputer, televisi, internet, atau pasar swalayan di zaman modern.

Sejak dulu, manusia telah mengamati bahwa posisi kebanyakan benda-benda langit mengalami perubahan. Perubahan tersebut bersifat berulang, baik harian maupun tahunan. Manusia juga telah mengamati bahwa pola cuaca, pola migrasi dan perkembangbiakan hewan, atau pola perbenihan tumbuhan juga bersifat berulang. Merupakan hal yang lumrah jika kemudian manusia, terutama zaman dulu, ingin mempelajari pola perubahan posisi benda-benda langit sebagai alat bantu penentu ritme aktivitas sehari-hari.

Gambar 1. Simulasi sebagian dari belahan timur langit Kelurahan Caturtunggal, Kecamatan Depok, Kabupaten Sleman, Propinsi DIY, dengan koordinat 7°46'48" LS dan 107°23'45" BT, pada tanggal 12 Juni 2009 pukul 08:00:02 (atas) dan 22:28:37 (bawah). Simulasi dihasilkan menggunakan perangkat lunak Stellarium.

Veracious Visions

Manusia dilahirkan, tumbuh, dan beraktivitas di Bumi. Karena itu, pandangan awal manusia mengenai langit yaitu bahwa benda-benda langit bergerak mengelilingi Bumi. Begitulah yang menjadi anggapan Eudoxus (400-347 BCE), astronom Yunani.^[1]

Benarkah anggapan Eudoxus? Pada masanya, tidak ada yang bisa memastikan kebenaran model Eudoxus. Namun, model Eudoxus jelas dapat digunakan untuk memprediksi pola perubahan posisi benda langit. Dengan demikian, digunakanlah model Eudoxus sebagai model sistem benda langit.

Model awal geosentris, yakni model sistem benda langit dengan Bumi sebagai pusatnya, memiliki satu kelemahan. Model ini tidak dapat digunakan untuk menjelaskan gerak balik planet. Semua planet mengalami gerak balik (retrograde), atau gerak melawan arah gerak bintang, pada waktu-waktu tertentu. Untuk menjelaskan peristiwa gerak balik planet, Ptolomeus, astronom Mesir, mengusulkan modifikasi model Eudoxus. Pada tahun 150, dia menambahkan orbit-orbit kecil (epicycle) pada orbit utama planet.^[2]

Gambar 2. Konsep model geosentris Ptolomeus untuk menjelaskan gerak balik planet.

Sebenarnya, gerak balik planet dapat dijelaskan menggunakan konsep yang jauh, jauh lebih sederhana, yakni model heliosentris. Dalam model ini, Matahari merupakan pusat peredaran planet-planet, termasuk Bumi. Demikianlah anggapan Nikolas Kopernikus (1473-1543), astronom Polandia. Pandangannya ini dituangkan dalam bukunya yang berjudul De Revolutionibus orbium coelestium (Peredaran Benda-Benda Langit). Kopernikus juga yakin bahwa lintasan peredaran planet berbentuk lingkaran.^[3]

Gambar 3. Bagian dari De Revolutionibus orbium coelestium yang memuat model heliosentris Kopernikus. (Wikimedia Commons)^[4]

Gambar 4. Ilustrasi konsep heliosentris Kopernikus untuk menjelaskan peristiwa gerak balik planet.

Model geosentris Ptolomeus merupakan model yang rumit, namun dapat digunakan untuk memprediksi secara akurat posisi benda langit. Sementara itu dibandingkan model geosentris Ptolomeus, model heliosentris Kopernikus sangat tidak akurat. Inilah sebabnya penerimaan model geosentris Ptolomeus masih sangat kuat. Toh yang dibutuhkan secara praktis yaitu manfaat suatu model untuk memprediksi posisi benda langit.

Bagaimanapun, Tycho Brahe (1546-1601), astronom Denmark, beranggapan bahwa model yang lebih sederhana lebih layak diakui daripada model yang lebih rumit. Dia berusaha membuktikan keabsahan model heliosentris Kopernikus dengan mengamati paralaks bintang, atau variasi tahunan posisi bintang. Jika memang benar bahwa Bumi mengelilingi Matahari, posisi bintang pasti akan bervariasi setiap setengah tahun secara berulang. ^[5]

Gambar 5. Ilustrasi konsep paralaks suatu bintang.

Gambar 6. Qvadrans Mvralis Sive Tichonicvs (Kuadran Dinding Tycho), salah satu instrumen pengamatan milik Tycho Brahe. Ilustrasi ini terdapat dalam bukunya yang berjudul Astronomiae instauratae mechanica^[6][7], terbitan tahun 1598. (Wikimedia Commons)^[8]

Dengan instrumen pengamatan pada masanya, Tycho Brahe tidak menemukan adanya paralaks. Karena itu, dia mengusulkan kompromi antara model geosentris dan model heliosentris. Dia mengusulkan bahwa Bumi dikelilingi Matahari, yang dikelilingi planet-planet lain.^[9]

Johannes Kepler (1571-1630), asisten Tycho Brahe, mengolah data-data pengamatan Tycho Brahe. Kepler menuangkan hasil kerjanya dalam bukunya yang berjudul Astronomia nova, terbitan tahun 1609.

Yang Kepler lakukan pada dasarnya mencari model yang, selain dapat menjelaskan dengan sederhana peristiwa gerak balik planet, dapat digunakan untuk secara akurat memprediksi posisi planet. Model geosentris Ptolomeus terlalu rumit, sementara model heliosentris Kopernikus tidak akurat.^[10]

Gambar 7. Plot gerak balik planet Mars untuk model geosentris. Plot karya Kepler ini terdapat dalam bukunya Astronomia nova^[11]. (Wikimedia Commons)^[12]

Gambar 8. Sebagian dari Astronomia nova, yang menunjukkan perbandingan sistem benda langit menurut Ptolomeus, Kopernikus, dan Tycho Brahe (Wikimedia Commons)^[13]

Dalam Astronomia nova, Kepler menyatakan bahwa planet-planet, termasuk Bumi, bergerak dalam lintasan elips mengelilingi Matahari, yang terletak di titik fokus elips. Kepler juga menyatakan bahwa luas daerah yang disapu vektor radius planet dari Matahari sebanding dengan waktu tempuh.

Dalam bukunya yang berjudul Harmonices Mundi (Harmoni Alam Semesta), Kepler, uniknya, berusaha menemukan pola musik dalam keteraturan benda-benda langit. Justru dari aktivitas aneh inilah Kepler menemukan hukum yang menyatakan kesebandingan antara kuadrat kala revolusi dan pangkat tiga panjang sumbu semimayor orbit suatu planet.

Generations of Gravity

Ketika belajar gravitasi, kebanyakan orang akan langsung membayangkan sosok Isaac Newton. Padahal, kajian rintisan mengenai gravitasi telah dilakukan jauh, jauh sebelum masa Isaac Newton.^[14]

Brahmagupta (598-668), astronom India, berpendapat bahwa pastilah ada gaya tarik antara Matahari dan Bumi. Konsep ini dia tuangkan dalam bukunya yang berjudul Brahmasphuta Siddhanta. Istilah Brahmagupta untuk gaya tarik ini yaitu gruhtvaakarshan, yang bunyi dan maknanya mirip dengan istilah bahasa Inggris gravitation.

Pada abad 9, Muhammad bin Musa bin Syakir mengajukan hipotesis bahwa ada gaya tarik antara benda-benda langit. Sementara itu, Abu Rayhan Muhammad bin Ahmad Al Biruni (973-1048), muslim Persia, juga menyebutkan adanya gaya tarik, yang menarik semua benda ke arah pusat Bumi.^[15]

Abu 'Ali Hasan bin Hasan bin Al Haytsam (965-1039), sejawat Al Biruni, telah mengkaji teori gaya tarik antara benda-benda yang memiliki massa. 'Abdurrahman Al Khazini (1115-1130) berpendapat bahwa berat benda berubah seiring dengan perubahan jaraknya dari pusat Bumi.^[16]

Galileo Galilei (1564-1642) menemukan bahwa benda yang jatuh bebas memiliki percepatan seragam, berapapun besar massanya. Akhirnya, Isaac Newton (1643-1727) berhasil menggunakan rumusan gaya gravitasi untuk membuktikan ketiga Hukum Kepler. Isaac Newton menuangkan konsep gaya gravitasi yang bekerja pada benda-benda langit dalam bukunya yang berjudul Philosophiae Naturalis Principia Mathematica.^[17][18]

Gambar 9. Bagian depan Philosophiae Naturalis Principia Mathematica. Buku pada gambar merupakan cetakan milik Isaac Newton, lengkap dengan coretan tangan untuk keperluan cetakan edisi kedua. (Wikimedia Commons)^[19]

Corroborating the Consequences

Kepler menyimpulkan bahwa planet-planet bergerak dalam lintasan elips mengelilingi Matahari yang ada pada titik fokus elips. Disimpulkan juga bahwa luas daerah yang disapu vektor radius planet dari Matahari sebanding dengan waktu tempuh. Akhirnya, disimpulkan bahwa kuadrat kala revolusi suatu planet sebanding dengan pangkat tiga panjang sumbu semimayor orbitnya.

Gambar 10. Ilustrasi ketiga Hukum Kepler. (Wikimedia Commons)^[20]

Kepler telah memaparkan pola variasi besaran-besaran yang berhubungan dengan gerakan planet-planet. Namun, dia tidak memberikan suatu rumusan global, yang turunannya merupakan ketiga Hukum Kepler.^[21] Rumusan global ini diberikan oleh Isaac Newton.

Mula-mula, dirumuskan bahwa antara dua benda bermassa, baik planet maupun lainnya, selalu terjadi gaya tarik. Gaya tarik ini, yang disebut gaya gravitasi, dirumuskan sebagai berikut.

\\\vec{F_g}= -G \frac{m_1 m_2}{s^2} \hat{s} \cdots\cdots \left( 1 \right)

Dalam persamaan (1), \vec{F_g} yaitu gaya gravitasi, G yaitu tetapan, m_1 dan m_2 yaitu massa kedua benda yang berinteraksi, s yaitu jarak kedua benda yang berinteraksi, dan \hat{s} yaitu vektor unit posisi benda yang ditinjau dari benda lainnya.

Rumusan lain yang akan digunakan diambil dari Hukum II Newton.

\\\vec{F}=m\frac{d^2}{dt^2}\vec{r}\cdots\cdots\left(2\right)

Dalam persamaan (2), \vec{F} yaitu gaya, m yaitu massa benda yang ditinjau, \vec{r} yaitu posisi benda yang ditinjau, dan t yaitu waktu.

Tinjaulah kasus interaksi Matahari dan sebuah planet. Massa Matahari yaitu m_1 dan massa planet yaitu m_2. Koordinat posisi Matahari yaitu \left(x_1,y_1,z_1\right) sedangkan koordinat planet yaitu \left(x_2,y_2,z_2\right). Berikut gaya yang dialami Matahari.

m_1\frac{d^2}{dt^2}\vec{r}_1=-G\frac{m_1\cdot m_2}{s^2}\hat{s}_{1,2} \\ \Rightarrow m_1\frac{d^2}{dt^2}\vec{r}_1=-G\frac{m_1\cdot m_2}{s^3}\vec{s}_{1,2}\cdots\cdots\left(3\right)

Berikut uraian lebih lanjut untuk persamaan (3).

\\\frac{d^2}{dt^2}\vec{r}_1=\hat{i}\frac{d^2}{dt^2}x_1+\hat{j}\frac{d^2}{dt^2}y_1+\hat{k}\frac{d^2}{dt^2}z_1 \cdots\cdots\left(4a\right)
\\ \vec{s}_{1,2}=\hat{i}\left(x_1-x_2\right)+\hat{j}\left(y_1-y_2\right)+\hat{k}\left(z_1-z_2\right) \cdots\cdots\left(4b\right)

Substitusi (4a) dan (4b) ke (3) akan menghasilkan tiga hubungan berikut.

\\\frac{d^2}{dt^2}x_1=-G m_2 \frac{x_1-x_2}{s^3} \cdots\cdots\left(5a\right) \\ \frac{d^2}{dt^2}y_1=-G m_2 \frac{y_1-y_2}{s^3} \cdots\cdots\left(5b\right) \\ \frac{d^2}{dt^2}z_1=-G m_2 \frac{z_1-z_2}{s^3} \cdots\cdots\left(5c\right)

Perlakuan yang sama untuk planet akan menghasilkan tiga hubungan berikut.

\\\frac{d^2}{dt^2}x_2=-G m_1 \frac{x_2-x_1}{s^3} \cdots\cdots\left(6a\right) \\ \frac{d^2}{dt^2}y_2=-G m_1 \frac{y_2-y_1}{s^3} \cdots\cdots\left(6b\right) \\ \frac{d^2}{dt^2}z_2=-G m_1 \frac{z_2-z_1}{s^3} \cdots\cdots\left(6c\right)

Untuk menyederhanakan masalah, dianggap bahwa planet bergerak mengelilingi Matahari yang diam. Dengan demikian, besaran berikut perlu didefinisikan.

\\x=x_2-x_1 & \cdots\cdots\left(7a\right) \\ y=y_2-y_1 & \cdots\cdots\left(7b\right) \\ z=z_2-z_1 \cdots\cdots\left(7c\right) \\ M=m_1+m_2 & \cdots\cdots\left(8\right)

Substitusi (7) dan (8) ke (5) dan (6) akan menghasilkan hubungan berikut.

\\\frac{d^2}{dt^2}x=-GM\frac{x}{s^3} \cdots\cdots\left(9a\right) \\ \frac{d^2}{dt^2}y=-GM\frac{y}{s^3} \cdots\cdots\left(9b\right) \\ \frac{d^2}{dt^2}z=-GM\frac{z}{s^3} \cdots\cdots\left(9c\right) 

Dari manipulasi aritmatika (9a) dan (9b) dapat dihasilkan hubungan berikut.

x\frac{d^2}{dt^2}y-y\frac{d^2}{dt^2}x=0 \\ \Rightarrow \left(x\frac{d^2}{dt^2}y+\frac{dx}{dt}\frac{dy}{dt}\right)-\left(y\frac{d^2}{dt^2}x+\frac{dy}{dt}\frac{dx}{dt}\right)=0 \\ \Rightarrow \frac{d}{dt}\left(x\frac{dy}{dt}-y\frac{dx}{dt}\right)=0 \\ \Rightarrow x\frac{dy}{dt}-y\frac{dx}{dt}=a_1 \cdots\cdots\left(10a\right)

Peubah a_1 merupakan tetapan integrasi. Dengan cara yang sama, bisa didapat hubungan berikut.

\\\Rightarrow y\frac{dz}{dt}-z\frac{dy}{dt}=a_2 \cdots\cdots\left(10b\right) \\ \Rightarrow z\frac{dx}{dt}-x\frac{dz}{dt}=a_3 \cdots\cdots\left(10c\right)

Hubungan berikut didapat dari manipulasi aritmatika (10a), (10b), dan (10c).

\\ a_1 z+a_2 x+a_3 y=0\cdots\cdots\left(11\right)

Persamaan (11) merupakan persamaan bidang datar. Berikut kesimpulan dari persamaan (11).

"Dua benda yang berinteraksi melalui gaya gravitasi akan bergerak dalam suatu bidang datar yang tetap."

Manipulasi aritmatika hubungan (9) dapat menghasilkan hubungan berikut.

\\2\frac{dx}{dt}\frac{d^2}{dt^2}x=-2\frac{GM}{s^3}x\frac{dx}{dt} \cdots\cdots\left(12a\right) \\ 2\frac{dy}{dt}\frac{d^2}{dt^2}y=-2\frac{GM}{s^3}y\frac{dy}{dt} \cdots\cdots\left(12b\right) \\ 2\frac{dz}{dt}\frac{d^2}{dt^2}z=-2\frac{GM}{s^3}z\frac{dz}{dt} \cdots\cdots\left(12c\right)

Penjumlahan (12a), (12b), dan (12c) menghasilkan hubungan berikut.

2\left(\frac{dx}{dt}\frac{d^2}{dt^2}x+\frac{dy}{dt}\frac{d^2}{dt^2}y+\frac{dz}{dt}\frac{d^2}{dt^2}z\right) \\ =-2\frac{GM}{s^3}\left(x\frac{dx}{dt}+y\frac{dy}{dt}+z\frac{dz}{dt}\right) \\ \Rightarrow \frac{d}{dt}\left[\left(\frac{dx}{dt}\right)^2+\left(\frac{dy}{dt}\right)^2+\left(\frac{dz}{dt}\right)^2\right] \\ =-\frac{GM}{s^3}\left(\frac{d}{dt}x^2+\frac{d}{dt}y^2+\frac{d}{dt}z^2\right) \\ =-\frac{GM}{s^3}\left[\frac{d}{dt}\left(x^2+y^2+z^2\right)\right] \cdots\cdots\left(13\right)

Sementara itu, diketahui adanya hubungan berikut.

\vec{s}=x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k} \\ \Rightarrow s^2=\vec{s}\cdot\vec{s}=x^2+y^2+z^2 \cdots\cdots\left(14a\right)  \\ \vec{v}=\frac{d}{dt}\vec{s}=\hat{i}\frac{dx}{dt}+\hat{j}\frac{dy}{dt}+\hat{k}\frac{dz}{dt} \\ \Rightarrow v^2=\vec{v}\cdot\vec{v} \\ =\left(\frac{dx}{dt}\right)^2+\left(\frac{dy}{dt}\right)^2+\left(\frac{dz}{dt}\right)^2 \cdots\cdots\left(14b\right)

Substitusi (14a) dan (14b) ke (13) menghasilkan hubungan berikut.

\frac{d}{dt}v^2 =-\frac{GM}{s^3}\frac{d}{dt}s^2=-2\frac{GM}{s^2}\frac{ds}{dt} \\\Rightarrow v^2 =2\frac{GM}{s}+h \cdots\cdots\left(15\right)

Peubah h pada (15) merupakan tetapan integrasi.

Telah disimpulkan bahwa dua benda yang berinteraksi melalui gaya gravitasi akan bergerak dalam suatu bidang datar yang tetap. Dengan demikian untuk selanjutnya, peubah yang digunakan untuk menyatakan koordinat posisi hanya x dan y saja.

Tinjau kembali persamaan (10a) dan (15)!

\\\left(\frac{dx}{dt}\right)^2+\left(\frac{dy}{dt}\right)^2-2\frac{\mu}{s}=k_1 \cdots\cdots\left(16a\right) \\ x\frac{dy}{dt}-y\frac{dx}{dt}=k_2 \cdots\cdots\left(16b\right)

Peubah \mu sama dengan GM, sedangkan k_1 dan k_2 merupakan tetapan dari (10a) dan (15).

Dalam koordinat kutub, didefinisikan bahwa x=s\cdot\cos{\theta} dan y=s\cdot\sin{\theta}. Dalam koordinat kutub, persamaan (16a) dan (16b) menjadi seperti berikut.

\left(\frac{ds}{dt}\cos\theta-s\frac{d\theta}{dt}\sin\theta\right)^2+\left(\frac{ds}{dt}\sin\theta+s\frac{d\theta}{dt}\cos\theta\right)^2 \\ =2\frac{\mu}{s}+k_1 \\ \Rightarrow \left(\frac{ds}{dt}\right)^2+s^2\left(\frac{d\theta}{dt}\right)^2=2\frac{\mu}{s}+k_1 \cdots\cdots\left(17a\right)

s\cos{\theta}\cdot\frac{d}{dt}\left(s\sin\theta\right)-s\sin\theta\cdot\frac{d}{dt}\left(s\cos\theta\right)=k_2 \\ \Rightarrow s^2\frac{d\theta}{dt}=k_2 \\ \Rightarrow dt=\frac{s^2}{k_2}d\theta \cdots\cdots\left(17b\right)

Manipulasi aritmatika hubungan (17) menghasilkan persamaan berikut.

\\\frac{1}{s^4}\left(\frac{ds}{d\theta}\right)^2+\frac{1}{s^2}-\frac{2\mu}{{k_2}^2s}-\frac{k_1}{{k_2}^2}=0\cdots\cdots\left(18\right) 

Definisikan besaran berikut!

u=\frac{1}{s}-\frac{\mu}{{k_2}^2}\cdots\cdots\left(19\right)

Substitusi (19) ke (18) menghasilkan hubungan berikut.

\\\left(\frac{du}{d\theta}\right)^2+u^2=K^2\cdots\cdots\left(20\right)

Berikut makna peubah K^2 dalam (20).

\\K^2=\frac{\mu^2}{{k_2}^4}+\frac{k_1}{{k_2}^2}\cdots\cdots\left(21\right)

Berikut solusi persamaan (20).

\\u=K\cos\left(\theta-\omega\right)\cdots\cdots\left(22\right)

Peubah \omega yaitu tetapan integrasi. Kembali menggunakan hubungan (19), hubungan (22) dapat dinyatakan sebagai fungsi s dan \theta berikut.

\\s=\frac{{k_2}^2/\mu}{1+\cos\left(\theta-\omega\right)\sqrt{1+h{k_2}^2/\mu^2}}\cdots\cdots\left(23\right)

Hubungan (23) pada dasarnya ekivalen dengan persamaan berikut.

\\s=\frac{a\left(1-e^2\right)}{1+e\cos\nu}\cdots\cdots\left(24\right)

Persamaan (24) merupakan persamaan bidang datar irisan kerucut dalam sistem koordinat kutub. Padahal, dari empat macam bangun datar irisan kerucut, elips merupakan bentuk umum kurva tertutup. Berikut kesimpulan dari persamaan (23) dan (24).

"Dua benda yang berinteraksi melalui gaya gravitasi akan bergerak dalam suatu bidang datar irisan kerucut."

Berikut kesimpulan serupa dalam kasus planet dan Matahari.

"Planet-planet bergerak dalam lintasan elips mengelilingi Matahari yang berada di titik fokus orbit." (Hukum I Kepler)

Hubungan (17b) dapat dinyatakan sebagai berikut.

\\\tfrac{1}{2}s^2d\theta=\tfrac{1}{2}k_2 dt\cdots\cdots\left(25\right)

Ruas kiri dalam hubungan (25) merupakan luas yang disapu vektor radius planet dari Matahari.

Gambar 11. Luas daerah yang disapu vektor radius planet dalam selang waktu tertentu.

Berikut kesimpulan dari persamaan (25).

"Luas daerah yang disapu vektor radius planet dari Matahari sebanding dengan waktu tempuh." (Hukum II Kepler)

Hasil integrasi ruas kanan persamaan (25) untuk selang waktu P, atau periode revolusi planet, yaitu luas bidang elips orbit planet.

\\A=\tfrac{1}{2}k_2 P\cdots\cdots\left(26\right) 

Dari (23) dan (24), peubah k_2 dapat dinyatakan sebagai berikut.

\frac{{k_2}^2}{\mu}=a\left(1-e^2\right) \\ \Rightarrow k_2=\sqrt{a\mu\left(1-e^2\right)} \cdots\cdots\left(27\right)

Sementara itu, berikut persamaan luas elips.

\\A=\pi ab = \pi a^2\sqrt{1-e^2} \cdots\cdots\left(28\right)

Dari persamaan (26), (27), dan (28), didapat hubungan berikut.

\tfrac{1}{2}k_2 P=\pi a^2\sqrt{1-e^2} \\ \Rightarrow\tfrac{1}{4}a\mu\left(1-e^2\right) P^2=\pi^2 a^4\left(1-e^2\right) \\ \Rightarrow\frac{a^3}{P^2}=\tfrac{G}{4\pi^2}\left(m_1+m_2\right) \cdots\cdots\left(29\right)

Dalam kasus Matahari dan planet, m_1\gg m_2, sehingga \left(m_1+m_2\right)\approx m_1. Berikut kesimpulan dari hubungan (29) untuk kasus sistem Matahari dan planet-planet.

"Kuadrat kala revolusi suatu planet sebanding dengan pangkat tiga panjang sumbu semimayor orbitnya." (Hukum III Kepler)

Selesai!

Rujukan

^[1] Thomas T. Arny, Explorations: An Introduction to Astronomy (New York: McGraw-Hill, 2004), hlm. 45
^[2] Ibid.
^[3] Ibid., hlm. 47
^[4] http://en.wikipedia.org/wiki/File:De_Revolutionibus_manuscript_p9b.jpg
^[5] Arny, Op.Cit., hlm. 48
^[6] Tycho Brahe, Astronomiae instauratae mechanica, lihat di Lehigh University Library (http://digital.lib.lehigh.edu/planets/brahe.php?num=F&exp=false<=lat&CISOPTR=404&limit=brahe&view=full)
^[7] Ibid., lihat di The Dibner Library of the History of Science and Technology, Smithsonian Institution Library, http://www.sil.si.edu/DigitalCollections/HST/Brahe/brahe.htm
^[8] http://en.wikipedia.org/wiki/File:Mauerquadrant.jpg
^[9] Arny, Op.Cit., hlm. 49
^[10] Ibid.
^[11] Johannes Kepler, Astronomia nova, lihat di Rare Book Library, University of Sydney (http://www.library.usyd.edu.au/libraries/rare/modernity/kepler4.html)
^[12] http://en.wikipedia.org/wiki/File:Kepler_Mars_retrograde.jpg
^[13] http://en.wikipedia.org/wiki/File:Kepler_astronomia_nova.jpg
^[14] http://en.wikipedia.org/wiki/History_of_gravitational_theory
^[15] Khwarizm (MuslimHeritage.com, http://muslimheritage.com/topics/default.cfm?TaxonomyTypeID=21)
^[16] Salah Zaimeche, Merv (Manchester: FSTC Limited, 2005), hlm. 7
^[17] Isaac Newton, Philosophiae Naturalis Principia Mathematica, terj. Andrew Motte (http://rack1.ul.cs.cmu.edu/is/newton/)
^[18] Ibid., lihat di American Libraries (http://www.archive.org/details/newtonspmathema00newtrich)
^[19] http://en.wikipedia.org/wiki/File:NewtonsPrincipia.jpg
^[20] http://en.wikipedia.org/wiki/File:Kepler_laws_diagram.svg
^[21] Winardi Sutyanto, Astrofisika: Mengenal Bintang (Bandung: Penerbit ITB, 1984), hlm. 42-50

Segitiga Siku-Siku Suka-Suka Saya

Salah satu topik dalam kajian geometri bidang datar yakni teorema Phytagoras. Dalam teorema ini, disebutkan bahwa jika c sisi miring sementara a dan b dua sisi yang saling berpenyiku dalam suatu segitiga siku-siku, maka berlaku hubungan c^2=a^2+b^2.

Rumusan teorema Phytagoras telah banyak dikenal oleh hampir semua siswa pendidikan menengah. Namun, tidak semua guru mengajarkan pembuktian teorema Phytagoras.

Makalah ini berisi pembuktian teorema Phytagoras dan penerapan teorema Phytagoras untuk memecahkan masalah yang berhubungan dengan segitiga bukan siku-siku.

Profesionally Proven

Ada beragam cara untuk membuktikan teorema Phytagoras. Dari beragam cara tersebut, yang paling intuitif yaitu cara geometris. Tinjaulah kasus struktur geometri berikut.

Gambar 1. Bangun persegi yang tersusun atas sebuah persegi yang lebih kecil dan empat buah segitiga siku-siku.

Dalam struktur di atas, panjang sisi persegi besar yaitu \left(a+b\right), sedangkan panjang sisi persegi kecil yaitu c. Nilai c ini sekaligus merupakan panjang sisi miring setiap segitiga siku-siku. Sementara itu, panjang sisi yang saling berpenyiku dalam setiap segitiga siku-siku yakni a dan b.

Luas persegi besar sama dengan jumlah luas persegi kecil dan luas empat buah segitiga siku-siku.

\left(a+b\right)^2=c^2+4\cdot \left(\tfrac{1}{2}ab\right) \\ \Rightarrow a^2+2ab+b^2=c^2+2ab \\ \Rightarrow a^2+b^2=c^2\cdots\cdots\left(1\right)

Persamaan (1) merupakan rumusan teorema Phytagoras.

Weighing the Height

Teorema Phytagoras dapat digunakan untuk menentukan nilai besaran-besaran pada segitiga yang bukan siku-siku sekalipun. Dalam pasal ini, akan dijelaskan cara menentukan panjang garis tinggi dan garis berat segitiga sembarang.

Tinjaulah kasus segitiga sembarang berikut!

Gambar 2. Segitiga sembarang yang semua sudutnya merupakan sudut lancip.

Dalam segitiga di atas, RS merupakan garis tinggi. Garis tinggi RS membagi segitiga PQR menjadi dua segitiga siku-siku, yakni segitiga QRS dan segitiga PRS. Berikut hubungan antara garis tinggi RS dan sisi-sisi segitiga PQR.

\\RS^2=QR^2-QS^2\cdots\cdots\left(2a\right)\\RS^2=PR^2-PS^2\cdots\cdots\left(2b\right)

Dari (2a) dan (2b), dapat ditentukan hubungan berikut.

PR^2-PS^2=QR^2-QS^2 \\ \Rightarrow PR^2-PS^2 = QR^2-\left(PQ-PS\right)^2 \\ \Rightarrow PR^2=QR^2-PQ^2+2PQ\cdot PS \\ \Rightarrow PS=\frac{PQ^2+PR^2-QR^2}{2PQ}\cdots\cdots\left(3\right)

Dari (2b) dan (3), dapat ditentukan panjang garis tinggi RS.

\begin{aligned}
RS & =\sqrt{PR^2-PS^2}
\\ & =\sqrt{PR^2-\left(\frac{PQ^2+PR^2-QR^2}{2PQ}\right)^2}\cdots\cdots\left(4a\right)
\end{aligned}

Panjang garis tinggi RS dapat pula ditentukan dengan persamaan berikut, yang ekivalen dengan persamaan (4a).

RS=\sqrt{QR^2-\left(\frac{PQ^2+QR^2-PR^2}{2PQ}\right)^2}\cdots\cdots\left(4b\right)

Dari (3) dan (4a) atau (4b), dapat ditentukan panjang garis berat RT.

\begin{aligned}
RT & =\sqrt{RS^2+ST^2}
\\ & =\sqrt{RS^2+\left(PS-\tfrac{1}{2}PQ\right)^2}
\\ & =\sqrt{RS^2+PS^2-PS\cdot PQ+\tfrac{1}{4}PQ^2}
\\ & =\sqrt{PR^2-PS\cdot PQ+\tfrac{1}{4}PQ^2}
\\ & =\sqrt{PR^2-\frac{PQ^2+PR^2-QR^2}{2}+\tfrac{1}{4}PQ^2}
\\ & =\sqrt{\tfrac{1}{4}\left(2PR^2-PQ^2+2QR^2\right)}\cdots\cdots\left(5\right)
\end{aligned}

Persamaan (4a), (4b), dan (5) masih berlaku bahkan jika segitiga yang ditinjau memiliki sudut tumpul. Tinjau kasus segitiga berikut.

Gambar 3. Segitiga sembarang yang salah satu sudutnya merupakan sudut tumpul.

Dalam segitiga di atas, RS merupakan garis tinggi. Garis tinggi RS merupakan garis tinggi segitiga siku-siku QRS dan segitiga siku-siku PRS. Berikut hubungan antara garis tinggi RS dan sisi-sisi segitiga PQR.

\\ RS^2=QR^2-QS^2\cdots\cdots\left(6a\right) \\ RS^2=PR^2-PS^2\cdots\cdots\left(6b\right)

Dari (6a) dan (6b), dapat ditentukan hubungan berikut.

PR^2-PS^2=QR^2-QS^2 =QR^2-\left(PS-PQ\right)^2 \\ \Rightarrow PR^2=QR^2-PQ^2+2PQ\cdot PS \\ \Rightarrow PS=\frac{PQ^2+PR^2-QR^2}{2PQ}\cdots\cdots\left(7\right)

Persamaan (7) benar-benar sama dengan persamaan (3), sebagaimana persamaan (6a) dan (6b) sama dengan persamaan (2a) dan (2b). Dengan demikian, substitusi persamaan (7) ke persamaan (2b) akan menghasilkan persamaan yang sama persis dengan persamaan (4a). Lebih jauh lagi, maka persamaan (4b) dan (5) berlaku juga untuk segitiga sembarang yang memiliki sudut tumpul. Jika persamaan (4a), (4b), dan (5) berlaku untuk semua segitiga sembarang, maka persamaan-persamaan tersebut berlaku juga untuk segala jenis segitiga.

Divide and Conquer

Dalam suatu konstruksi sudut, dapat dibuat sebuah garis yang membagi sudut tersebut menjadi dua sudut yang lebih kecil dan sama besarnya. Garis ini disebut garis bagi sudut.

Tinjau kasus segitiga berikut!

Gambar 4. Segitiga sembarang beserta garis tinggi dan garis bagi sudutnya.

Dalam struktur di atas, garis bagi sudut RV membagi segitiga PQR menjadi segitiga PRV dan segitiga QRV. Karena besar \angle PRV dan \angle QRV sama, berlaku hubungan berikut.

\frac{PR}{PU}=\frac{QR}{QW} \\ \Rightarrow \frac{PR}{QR}=\frac{PU}{QW}\cdots\cdots\left(8\right)

Sementara itu, segitiga PUV sebangun dengan segitiga QVW. Dari hubungan ini dan (8), berlaku hubungan berikut.

\frac{PV}{PU}=\frac{QV}{QW} \\ \Rightarrow \frac{PU}{QW}=\frac{PV}{QV}=\frac{PR}{QR}\cdots\cdots\left(9\right)

Dari (9), dapat ditentukan panjang ruas PV.

PV=\frac{PV}{\left(PV+QV\right)}\cdot PQ \\ =\frac{PR}{\left(PR+QR\right)}\cdot PQ\cdots\cdots\left(10\right)

Dari teorema Phytagoras serta persamaan (3), (4a) dan (10), dapat ditentukan persamaan panjang garis bagi sudut RV.

RV=\sqrt{RS^2+SV^2} \\ =\sqrt{RS^2+\left(PV-PS\right)^2} \\ =\sqrt{RS^2+PV^2-2PV\cdot PS+PS^2} \\ =\sqrt{PR^2-X+Y}\cdots\cdots\left(11\right)

\\ X=\frac{PR}{\left(PR+QR\right)}\cdot \left(PQ^2+PR^2-QR^2\right) \\ Y=\frac{PR^2\cdot PQ^2}{\left(PR+QR\right)^2}

Persamaan (11), yang panjang itu, merupakan persamaan panjang garis bagi sudut suatu segitiga.