Bagi banyak manusia zaman modern, jarang sekali pola perubahan posisi benda langit dianggap penting. Bagaimana tidak demikian? Toh untuk mengetahui waktu lokal, telah ada jam elektronik. Untuk mendapatkan makanan, telah ada beragam upaya intensifikasi, ekstensifikasi, serta pemasaran sehingga kebanyakan manusia tidak menaruh perhatian pada pergantian musim. Untuk bepergian, telah ada berbagai-bagai sarana angkutan yang bukan hanya tidak tergantung cuaca, namun bahkan juga sanggup menahan hempasan gelombang. Merupakan hal yang lumrah jika kebanyakan manusia modern jarang mengerahkan kemampuan berpikirnya untuk memeriksa perubahan posisi benda langit. Meskipun demikian, ada masanya pengetahuan perubahan posisi benda langit sedemikian lazim, seperti lazimnya komputer, televisi, internet, atau pasar swalayan di zaman modern.
Sejak dulu, manusia telah mengamati bahwa posisi kebanyakan benda-benda langit mengalami perubahan. Perubahan tersebut bersifat berulang, baik harian maupun tahunan. Manusia juga telah mengamati bahwa pola cuaca, pola migrasi dan perkembangbiakan hewan, atau pola perbenihan tumbuhan juga bersifat berulang. Merupakan hal yang lumrah jika kemudian manusia, terutama zaman dulu, ingin mempelajari pola perubahan posisi benda-benda langit sebagai alat bantu penentu ritme aktivitas sehari-hari.
Gambar 1. Simulasi sebagian dari belahan timur langit Kelurahan Caturtunggal, Kecamatan Depok, Kabupaten Sleman, Propinsi DIY, dengan koordinat 7°46'48" LS dan 107°23'45" BT, pada tanggal 12 Juni 2009 pukul 08:00:02 (atas) dan 22:28:37 (bawah). Simulasi dihasilkan menggunakan perangkat lunak Stellarium.
Veracious Visions
Manusia dilahirkan, tumbuh, dan beraktivitas di Bumi. Karena itu, pandangan awal manusia mengenai langit yaitu bahwa benda-benda langit bergerak mengelilingi Bumi. Begitulah yang menjadi anggapan Eudoxus (400-347 BCE), astronom Yunani.[1]
Benarkah anggapan Eudoxus? Pada masanya, tidak ada yang bisa memastikan kebenaran model Eudoxus. Namun, model Eudoxus jelas dapat digunakan untuk memprediksi pola perubahan posisi benda langit. Dengan demikian, digunakanlah model Eudoxus sebagai model sistem benda langit.
Model awal geosentris, yakni model sistem benda langit dengan Bumi sebagai pusatnya, memiliki satu kelemahan. Model ini tidak dapat digunakan untuk menjelaskan gerak balik planet. Semua planet mengalami gerak balik (retrograde), atau gerak melawan arah gerak bintang, pada waktu-waktu tertentu. Untuk menjelaskan peristiwa gerak balik planet, Ptolomeus, astronom Mesir, mengusulkan modifikasi model Eudoxus. Pada tahun 150, dia menambahkan orbit-orbit kecil (epicycle) pada orbit utama planet.[2]
Gambar 2. Konsep model geosentris Ptolomeus untuk menjelaskan gerak balik planet.
Sebenarnya, gerak balik planet dapat dijelaskan menggunakan konsep yang jauh, jauh lebih sederhana, yakni model heliosentris. Dalam model ini, Matahari merupakan pusat peredaran planet-planet, termasuk Bumi. Demikianlah anggapan Nikolas Kopernikus (1473-1543), astronom Polandia. Pandangannya ini dituangkan dalam bukunya yang berjudul De Revolutionibus orbium coelestium (Peredaran Benda-Benda Langit). Kopernikus juga yakin bahwa lintasan peredaran planet berbentuk lingkaran.[3]
Gambar 3. Bagian dari De Revolutionibus orbium coelestium yang memuat model heliosentris Kopernikus. (Wikimedia Commons)[4]
Gambar 4. Ilustrasi konsep heliosentris Kopernikus untuk menjelaskan peristiwa gerak balik planet.
Model geosentris Ptolomeus merupakan model yang rumit, namun dapat digunakan untuk memprediksi secara akurat posisi benda langit. Sementara itu dibandingkan model geosentris Ptolomeus, model heliosentris Kopernikus sangat tidak akurat. Inilah sebabnya penerimaan model geosentris Ptolomeus masih sangat kuat. Toh yang dibutuhkan secara praktis yaitu manfaat suatu model untuk memprediksi posisi benda langit.
Bagaimanapun, Tycho Brahe (1546-1601), astronom Denmark, beranggapan bahwa model yang lebih sederhana lebih layak diakui daripada model yang lebih rumit. Dia berusaha membuktikan keabsahan model heliosentris Kopernikus dengan mengamati paralaks bintang, atau variasi tahunan posisi bintang. Jika memang benar bahwa Bumi mengelilingi Matahari, posisi bintang pasti akan bervariasi setiap setengah tahun secara berulang. [5]
Gambar 5. Ilustrasi konsep paralaks suatu bintang.
Gambar 6. Qvadrans Mvralis Sive Tichonicvs (Kuadran Dinding Tycho), salah satu instrumen pengamatan milik Tycho Brahe. Ilustrasi ini terdapat dalam bukunya yang berjudul Astronomiae instauratae mechanica[6][7], terbitan tahun 1598. (Wikimedia Commons)[8]
Dengan instrumen pengamatan pada masanya, Tycho Brahe tidak menemukan adanya paralaks. Karena itu, dia mengusulkan kompromi antara model geosentris dan model heliosentris. Dia mengusulkan bahwa Bumi dikelilingi Matahari, yang dikelilingi planet-planet lain.[9]
Johannes Kepler (1571-1630), asisten Tycho Brahe, mengolah data-data pengamatan Tycho Brahe. Kepler menuangkan hasil kerjanya dalam bukunya yang berjudul Astronomia nova, terbitan tahun 1609.
Yang Kepler lakukan pada dasarnya mencari model yang, selain dapat menjelaskan dengan sederhana peristiwa gerak balik planet, dapat digunakan untuk secara akurat memprediksi posisi planet. Model geosentris Ptolomeus terlalu rumit, sementara model heliosentris Kopernikus tidak akurat.[10]
Gambar 7. Plot gerak balik planet Mars untuk model geosentris. Plot karya Kepler ini terdapat dalam bukunya Astronomia nova[11]. (Wikimedia Commons)[12]
Gambar 8. Sebagian dari Astronomia nova, yang menunjukkan perbandingan sistem benda langit menurut Ptolomeus, Kopernikus, dan Tycho Brahe (Wikimedia Commons)[13]
Dalam Astronomia nova, Kepler menyatakan bahwa planet-planet, termasuk Bumi, bergerak dalam lintasan elips mengelilingi Matahari, yang terletak di titik fokus elips. Kepler juga menyatakan bahwa luas daerah yang disapu vektor radius planet dari Matahari sebanding dengan waktu tempuh.
Dalam bukunya yang berjudul Harmonices Mundi (Harmoni Alam Semesta), Kepler, uniknya, berusaha menemukan pola musik dalam keteraturan benda-benda langit. Justru dari aktivitas aneh inilah Kepler menemukan hukum yang menyatakan kesebandingan antara kuadrat kala revolusi dan pangkat tiga panjang sumbu semimayor orbit suatu planet.
Generations of Gravity
Ketika belajar gravitasi, kebanyakan orang akan langsung membayangkan sosok Isaac Newton. Padahal, kajian rintisan mengenai gravitasi telah dilakukan jauh, jauh sebelum masa Isaac Newton.[14]
Brahmagupta (598-668), astronom India, berpendapat bahwa pastilah ada gaya tarik antara Matahari dan Bumi. Konsep ini dia tuangkan dalam bukunya yang berjudul Brahmasphuta Siddhanta. Istilah Brahmagupta untuk gaya tarik ini yaitu gruhtvaakarshan, yang bunyi dan maknanya mirip dengan istilah bahasa Inggris gravitation.
Pada abad 9, Muhammad bin Musa bin Syakir mengajukan hipotesis bahwa ada gaya tarik antara benda-benda langit. Sementara itu, Abu Rayhan Muhammad bin Ahmad Al Biruni (973-1048), muslim Persia, juga menyebutkan adanya gaya tarik, yang menarik semua benda ke arah pusat Bumi.[15]
Abu 'Ali Hasan bin Hasan bin Al Haytsam (965-1039), sejawat Al Biruni, telah mengkaji teori gaya tarik antara benda-benda yang memiliki massa. 'Abdurrahman Al Khazini (1115-1130) berpendapat bahwa berat benda berubah seiring dengan perubahan jaraknya dari pusat Bumi.[16]
Galileo Galilei (1564-1642) menemukan bahwa benda yang jatuh bebas memiliki percepatan seragam, berapapun besar massanya. Akhirnya, Isaac Newton (1643-1727) berhasil menggunakan rumusan gaya gravitasi untuk membuktikan ketiga Hukum Kepler. Isaac Newton menuangkan konsep gaya gravitasi yang bekerja pada benda-benda langit dalam bukunya yang berjudul Philosophiae Naturalis Principia Mathematica.[17][18]
Gambar 9. Bagian depan Philosophiae Naturalis Principia Mathematica. Buku pada gambar merupakan cetakan milik Isaac Newton, lengkap dengan coretan tangan untuk keperluan cetakan edisi kedua. (Wikimedia Commons)[19]
Corroborating the Consequences
Kepler menyimpulkan bahwa planet-planet bergerak dalam lintasan elips mengelilingi Matahari yang ada pada titik fokus elips. Disimpulkan juga bahwa luas daerah yang disapu vektor radius planet dari Matahari sebanding dengan waktu tempuh. Akhirnya, disimpulkan bahwa kuadrat kala revolusi suatu planet sebanding dengan pangkat tiga panjang sumbu semimayor orbitnya.
Gambar 10. Ilustrasi ketiga Hukum Kepler. (Wikimedia Commons)[20]
Kepler telah memaparkan pola variasi besaran-besaran yang berhubungan dengan gerakan planet-planet. Namun, dia tidak memberikan suatu rumusan global, yang turunannya merupakan ketiga Hukum Kepler.[21] Rumusan global ini diberikan oleh Isaac Newton.
Mula-mula, dirumuskan bahwa antara dua benda bermassa, baik planet maupun lainnya, selalu terjadi gaya tarik. Gaya tarik ini, yang disebut gaya gravitasi, dirumuskan sebagai berikut.
\\\vec{F_g}= -G \frac{m_1 m_2}{s^2} \hat{s} \cdots\cdots \left( 1 \right)
Dalam persamaan (1), \vec{F_g} yaitu gaya gravitasi, G yaitu tetapan, m_1 dan m_2 yaitu massa kedua benda yang berinteraksi, s yaitu jarak kedua benda yang berinteraksi, dan \hat{s} yaitu vektor unit posisi benda yang ditinjau dari benda lainnya.
Rumusan lain yang akan digunakan diambil dari Hukum II Newton.
\\\vec{F}=m\frac{d^2}{dt^2}\vec{r}\cdots\cdots\left(2\right)
Dalam persamaan (2), \vec{F} yaitu gaya, m yaitu massa benda yang ditinjau, \vec{r} yaitu posisi benda yang ditinjau, dan t yaitu waktu.
Tinjaulah kasus interaksi Matahari dan sebuah planet. Massa Matahari yaitu m_1 dan massa planet yaitu m_2. Koordinat posisi Matahari yaitu \left(x_1,y_1,z_1\right) sedangkan koordinat planet yaitu \left(x_2,y_2,z_2\right). Berikut gaya yang dialami Matahari.
m_1\frac{d^2}{dt^2}\vec{r}_1=-G\frac{m_1\cdot m_2}{s^2}\hat{s}_{1,2} \\ \Rightarrow m_1\frac{d^2}{dt^2}\vec{r}_1=-G\frac{m_1\cdot m_2}{s^3}\vec{s}_{1,2}\cdots\cdots\left(3\right)
Berikut uraian lebih lanjut untuk persamaan (3).
\\\frac{d^2}{dt^2}\vec{r}_1=\hat{i}\frac{d^2}{dt^2}x_1+\hat{j}\frac{d^2}{dt^2}y_1+\hat{k}\frac{d^2}{dt^2}z_1 \cdots\cdots\left(4a\right)
\\ \vec{s}_{1,2}=\hat{i}\left(x_1-x_2\right)+\hat{j}\left(y_1-y_2\right)+\hat{k}\left(z_1-z_2\right) \cdots\cdots\left(4b\right)
Substitusi (4a) dan (4b) ke (3) akan menghasilkan tiga hubungan berikut.
\\\frac{d^2}{dt^2}x_1=-G m_2 \frac{x_1-x_2}{s^3} \cdots\cdots\left(5a\right) \\ \frac{d^2}{dt^2}y_1=-G m_2 \frac{y_1-y_2}{s^3} \cdots\cdots\left(5b\right) \\ \frac{d^2}{dt^2}z_1=-G m_2 \frac{z_1-z_2}{s^3} \cdots\cdots\left(5c\right)
Perlakuan yang sama untuk planet akan menghasilkan tiga hubungan berikut.
\\\frac{d^2}{dt^2}x_2=-G m_1 \frac{x_2-x_1}{s^3} \cdots\cdots\left(6a\right) \\ \frac{d^2}{dt^2}y_2=-G m_1 \frac{y_2-y_1}{s^3} \cdots\cdots\left(6b\right) \\ \frac{d^2}{dt^2}z_2=-G m_1 \frac{z_2-z_1}{s^3} \cdots\cdots\left(6c\right)
Untuk menyederhanakan masalah, dianggap bahwa planet bergerak mengelilingi Matahari yang diam. Dengan demikian, besaran berikut perlu didefinisikan.
\\x=x_2-x_1 & \cdots\cdots\left(7a\right) \\ y=y_2-y_1 & \cdots\cdots\left(7b\right) \\ z=z_2-z_1 \cdots\cdots\left(7c\right) \\ M=m_1+m_2 & \cdots\cdots\left(8\right)
Substitusi (7) dan (8) ke (5) dan (6) akan menghasilkan hubungan berikut.
\\\frac{d^2}{dt^2}x=-GM\frac{x}{s^3} \cdots\cdots\left(9a\right) \\ \frac{d^2}{dt^2}y=-GM\frac{y}{s^3} \cdots\cdots\left(9b\right) \\ \frac{d^2}{dt^2}z=-GM\frac{z}{s^3} \cdots\cdots\left(9c\right)
Dari manipulasi aritmatika (9a) dan (9b) dapat dihasilkan hubungan berikut.
x\frac{d^2}{dt^2}y-y\frac{d^2}{dt^2}x=0 \\ \Rightarrow \left(x\frac{d^2}{dt^2}y+\frac{dx}{dt}\frac{dy}{dt}\right)-\left(y\frac{d^2}{dt^2}x+\frac{dy}{dt}\frac{dx}{dt}\right)=0 \\ \Rightarrow \frac{d}{dt}\left(x\frac{dy}{dt}-y\frac{dx}{dt}\right)=0 \\ \Rightarrow x\frac{dy}{dt}-y\frac{dx}{dt}=a_1 \cdots\cdots\left(10a\right)
Peubah a_1 merupakan tetapan integrasi. Dengan cara yang sama, bisa didapat hubungan berikut.
\\\Rightarrow y\frac{dz}{dt}-z\frac{dy}{dt}=a_2 \cdots\cdots\left(10b\right) \\ \Rightarrow z\frac{dx}{dt}-x\frac{dz}{dt}=a_3 \cdots\cdots\left(10c\right)
Hubungan berikut didapat dari manipulasi aritmatika (10a), (10b), dan (10c).
\\ a_1 z+a_2 x+a_3 y=0\cdots\cdots\left(11\right)
Persamaan (11) merupakan persamaan bidang datar. Berikut kesimpulan dari persamaan (11).
"Dua benda yang berinteraksi melalui gaya gravitasi akan bergerak dalam suatu bidang datar yang tetap."
Manipulasi aritmatika hubungan (9) dapat menghasilkan hubungan berikut.
\\2\frac{dx}{dt}\frac{d^2}{dt^2}x=-2\frac{GM}{s^3}x\frac{dx}{dt} \cdots\cdots\left(12a\right) \\ 2\frac{dy}{dt}\frac{d^2}{dt^2}y=-2\frac{GM}{s^3}y\frac{dy}{dt} \cdots\cdots\left(12b\right) \\ 2\frac{dz}{dt}\frac{d^2}{dt^2}z=-2\frac{GM}{s^3}z\frac{dz}{dt} \cdots\cdots\left(12c\right)
Penjumlahan (12a), (12b), dan (12c) menghasilkan hubungan berikut.
2\left(\frac{dx}{dt}\frac{d^2}{dt^2}x+\frac{dy}{dt}\frac{d^2}{dt^2}y+\frac{dz}{dt}\frac{d^2}{dt^2}z\right) \\ =-2\frac{GM}{s^3}\left(x\frac{dx}{dt}+y\frac{dy}{dt}+z\frac{dz}{dt}\right) \\ \Rightarrow \frac{d}{dt}\left[\left(\frac{dx}{dt}\right)^2+\left(\frac{dy}{dt}\right)^2+\left(\frac{dz}{dt}\right)^2\right] \\ =-\frac{GM}{s^3}\left(\frac{d}{dt}x^2+\frac{d}{dt}y^2+\frac{d}{dt}z^2\right) \\ =-\frac{GM}{s^3}\left[\frac{d}{dt}\left(x^2+y^2+z^2\right)\right] \cdots\cdots\left(13\right)
Sementara itu, diketahui adanya hubungan berikut.
\vec{s}=x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k} \\ \Rightarrow s^2=\vec{s}\cdot\vec{s}=x^2+y^2+z^2 \cdots\cdots\left(14a\right) \\ \vec{v}=\frac{d}{dt}\vec{s}=\hat{i}\frac{dx}{dt}+\hat{j}\frac{dy}{dt}+\hat{k}\frac{dz}{dt} \\ \Rightarrow v^2=\vec{v}\cdot\vec{v} \\ =\left(\frac{dx}{dt}\right)^2+\left(\frac{dy}{dt}\right)^2+\left(\frac{dz}{dt}\right)^2 \cdots\cdots\left(14b\right)
Substitusi (14a) dan (14b) ke (13) menghasilkan hubungan berikut.
\frac{d}{dt}v^2 =-\frac{GM}{s^3}\frac{d}{dt}s^2=-2\frac{GM}{s^2}\frac{ds}{dt} \\\Rightarrow v^2 =2\frac{GM}{s}+h \cdots\cdots\left(15\right)
Peubah h pada (15) merupakan tetapan integrasi.
Telah disimpulkan bahwa dua benda yang berinteraksi melalui gaya gravitasi akan bergerak dalam suatu bidang datar yang tetap. Dengan demikian untuk selanjutnya, peubah yang digunakan untuk menyatakan koordinat posisi hanya x dan y saja.
Tinjau kembali persamaan (10a) dan (15)!
\\\left(\frac{dx}{dt}\right)^2+\left(\frac{dy}{dt}\right)^2-2\frac{\mu}{s}=k_1 \cdots\cdots\left(16a\right) \\ x\frac{dy}{dt}-y\frac{dx}{dt}=k_2 \cdots\cdots\left(16b\right)
Peubah \mu sama dengan GM, sedangkan k_1 dan k_2 merupakan tetapan dari (10a) dan (15).
Dalam koordinat kutub, didefinisikan bahwa x=s\cdot\cos{\theta} dan y=s\cdot\sin{\theta}. Dalam koordinat kutub, persamaan (16a) dan (16b) menjadi seperti berikut.
\left(\frac{ds}{dt}\cos\theta-s\frac{d\theta}{dt}\sin\theta\right)^2+\left(\frac{ds}{dt}\sin\theta+s\frac{d\theta}{dt}\cos\theta\right)^2 \\ =2\frac{\mu}{s}+k_1 \\ \Rightarrow \left(\frac{ds}{dt}\right)^2+s^2\left(\frac{d\theta}{dt}\right)^2=2\frac{\mu}{s}+k_1 \cdots\cdots\left(17a\right)
s\cos{\theta}\cdot\frac{d}{dt}\left(s\sin\theta\right)-s\sin\theta\cdot\frac{d}{dt}\left(s\cos\theta\right)=k_2 \\ \Rightarrow s^2\frac{d\theta}{dt}=k_2 \\ \Rightarrow dt=\frac{s^2}{k_2}d\theta \cdots\cdots\left(17b\right)
Manipulasi aritmatika hubungan (17) menghasilkan persamaan berikut.
\\\frac{1}{s^4}\left(\frac{ds}{d\theta}\right)^2+\frac{1}{s^2}-\frac{2\mu}{{k_2}^2s}-\frac{k_1}{{k_2}^2}=0\cdots\cdots\left(18\right)
Definisikan besaran berikut!
u=\frac{1}{s}-\frac{\mu}{{k_2}^2}\cdots\cdots\left(19\right)
Substitusi (19) ke (18) menghasilkan hubungan berikut.
\\\left(\frac{du}{d\theta}\right)^2+u^2=K^2\cdots\cdots\left(20\right)
Berikut makna peubah K^2 dalam (20).
\\K^2=\frac{\mu^2}{{k_2}^4}+\frac{k_1}{{k_2}^2}\cdots\cdots\left(21\right)
Berikut solusi persamaan (20).
\\u=K\cos\left(\theta-\omega\right)\cdots\cdots\left(22\right)
Peubah \omega yaitu tetapan integrasi. Kembali menggunakan hubungan (19), hubungan (22) dapat dinyatakan sebagai fungsi s dan \theta berikut.
\\s=\frac{{k_2}^2/\mu}{1+\cos\left(\theta-\omega\right)\sqrt{1+h{k_2}^2/\mu^2}}\cdots\cdots\left(23\right)
Hubungan (23) pada dasarnya ekivalen dengan persamaan berikut.
\\s=\frac{a\left(1-e^2\right)}{1+e\cos\nu}\cdots\cdots\left(24\right)
Persamaan (24) merupakan persamaan bidang datar irisan kerucut dalam sistem koordinat kutub. Padahal, dari empat macam bangun datar irisan kerucut, elips merupakan bentuk umum kurva tertutup. Berikut kesimpulan dari persamaan (23) dan (24).
"Dua benda yang berinteraksi melalui gaya gravitasi akan bergerak dalam suatu bidang datar irisan kerucut."
Berikut kesimpulan serupa dalam kasus planet dan Matahari.
"Planet-planet bergerak dalam lintasan elips mengelilingi Matahari yang berada di titik fokus orbit." (Hukum I Kepler)
Hubungan (17b) dapat dinyatakan sebagai berikut.
\\\tfrac{1}{2}s^2d\theta=\tfrac{1}{2}k_2 dt\cdots\cdots\left(25\right)
Ruas kiri dalam hubungan (25) merupakan luas yang disapu vektor radius planet dari Matahari.
Gambar 11. Luas daerah yang disapu vektor radius planet dalam selang waktu tertentu.
Berikut kesimpulan dari persamaan (25).
"Luas daerah yang disapu vektor radius planet dari Matahari sebanding dengan waktu tempuh." (Hukum II Kepler)
Hasil integrasi ruas kanan persamaan (25) untuk selang waktu P, atau periode revolusi planet, yaitu luas bidang elips orbit planet.
\\A=\tfrac{1}{2}k_2 P\cdots\cdots\left(26\right)
Dari (23) dan (24), peubah k_2 dapat dinyatakan sebagai berikut.
\frac{{k_2}^2}{\mu}=a\left(1-e^2\right) \\ \Rightarrow k_2=\sqrt{a\mu\left(1-e^2\right)} \cdots\cdots\left(27\right)
Sementara itu, berikut persamaan luas elips.
\\A=\pi ab = \pi a^2\sqrt{1-e^2} \cdots\cdots\left(28\right)
Dari persamaan (26), (27), dan (28), didapat hubungan berikut.
\tfrac{1}{2}k_2 P=\pi a^2\sqrt{1-e^2} \\ \Rightarrow\tfrac{1}{4}a\mu\left(1-e^2\right) P^2=\pi^2 a^4\left(1-e^2\right) \\ \Rightarrow\frac{a^3}{P^2}=\tfrac{G}{4\pi^2}\left(m_1+m_2\right) \cdots\cdots\left(29\right)
Dalam kasus Matahari dan planet, m_1\gg m_2, sehingga \left(m_1+m_2\right)\approx m_1. Berikut kesimpulan dari hubungan (29) untuk kasus sistem Matahari dan planet-planet.
"Kuadrat kala revolusi suatu planet sebanding dengan pangkat tiga panjang sumbu semimayor orbitnya." (Hukum III Kepler)
Selesai!
Rujukan
[1] Thomas T. Arny, Explorations: An Introduction to Astronomy (New York: McGraw-Hill, 2004), hlm. 45
[2] Ibid.
[3] Ibid., hlm. 47
[4] http://en.wikipedia.org/wiki/File:De_Revolutionibus_manuscript_p9b.jpg
[5] Arny, Op.Cit., hlm. 48
[6] Tycho Brahe, Astronomiae instauratae mechanica, lihat di Lehigh University Library (http://digital.lib.lehigh.edu/planets/brahe.php?num=F&exp=false<=lat&CISOPTR=404&limit=brahe&view=full)
[7] Ibid., lihat di The Dibner Library of the History of Science and Technology, Smithsonian Institution Library, http://www.sil.si.edu/DigitalCollections/HST/Brahe/brahe.htm
[8] http://en.wikipedia.org/wiki/File:Mauerquadrant.jpg
[9] Arny, Op.Cit., hlm. 49
[10] Ibid.
[11] Johannes Kepler, Astronomia nova, lihat di Rare Book Library, University of Sydney (http://www.library.usyd.edu.au/libraries/rare/modernity/kepler4.html)
[12] http://en.wikipedia.org/wiki/File:Kepler_Mars_retrograde.jpg
[13] http://en.wikipedia.org/wiki/File:Kepler_astronomia_nova.jpg
[14] http://en.wikipedia.org/wiki/History_of_gravitational_theory
[15] Khwarizm (MuslimHeritage.com, http://muslimheritage.com/topics/default.cfm?TaxonomyTypeID=21)
[16] Salah Zaimeche, Merv (Manchester: FSTC Limited, 2005), hlm. 7
[17] Isaac Newton, Philosophiae Naturalis Principia Mathematica, terj. Andrew Motte (http://rack1.ul.cs.cmu.edu/is/newton/)
[18] Ibid., lihat di American Libraries (http://www.archive.org/details/newtonspmathema00newtrich)
[19] http://en.wikipedia.org/wiki/File:NewtonsPrincipia.jpg
[20] http://en.wikipedia.org/wiki/File:Kepler_laws_diagram.svg
[21] Winardi Sutyanto, Astrofisika: Mengenal Bintang (Bandung: Penerbit ITB, 1984), hlm. 42-50
Gambar 1. Anda sedang berada di pos satpam gerbang selatan ITB. Seseorang datang pada Anda dan menanyakan lokasi gedung program studi astronomi. Bagaimana cara Anda memberi petunjuk pada penanya tadi? (Wikimapia)[1]
Gambar 2. Bagaimana cara Anda memperingatkan rekan tentang arah lokasi musuh? (Tom Clancy's Ghost Recon Advanced Warfighter 2)
Gambar 3. Simulasi langit malam Bandung, 6°49'32" LS dan 107°36'58" BT, tanggal 16 Juli 2010 pukul 05:06:12. Temukan bintang γ Ori, bintang terang di tengah, agak ke atas! Simulasi dibuat menggunakan perangkat lunak Stellarium. -- Klik pada gambar untuk memperbesar!
Gambar 4. Masih pada simulasi langit malam Bandung, 6°49'32" LS dan 107°36'58" BT, tanggal 16 Juli 2010 pukul 05:06:12, temukan bintang γ Ori, yang ketinggiannya 20° dan azimutnya 81°! Simulasi dibuat menggunakan perangkat lunak Stellarium. -- Klik pada gambar untuk memperbesar!
Gambar 5. Bintang γ Ori pada simulasi langit malam Bandung, 6°49'32" LS dan 107°36'58" BT, tanggal 16 Juli 2010 pukul 05:06:12. Simulasi dibuat menggunakan perangkat lunak Stellarium. -- Klik pada gambar untuk memperbesar!
Gambar 6. Ilustrasi sudut ketinggian.
Gambar 7. Dua objek yang sudut ketinggiannya sama belum tentu posisinya sama juga.
Gambar 8. Ilustrasi sudut azimut.
Gambar 9. Jika azimut didefinisikan hanya sebagai sudut yang dibentuk oleh utara, pengamat, dan proyeksi benda pada cakrawala, maka ada dua kemungkinan posisi proyeksi benda di cakrawala.
Gambar 10. Ilustrasi rujukan arah pengukuran sudut azimut.
Gambar 11. Ilustrasi klinometer sederhana.
Gambar 12. Pengamatan sudut ketinggian objek dengan klinometer.
Gambar 13. Jika digunakan busur derajat sebagai komponen klinometer, biasanya perlu dilakukan penyesuaian. Sebabnya yaitu yang ditimpa benang bukan sudut ketinggian, melainkan 90° dikurangi/ditambah sudut ketinggian.
Gambar 14. Pengukuran sudut azimut suatu objek dengan kompas.
Gambar 15. Tiang untuk mengukur ketinggian dan azimut Matahari. Pada gambar, azimut Matahari 135°.
Gambar 16. Azimut 0° pada skala diarahkan ke selatan.
Gambar 17. Posisi kutub utara magnet sejak 1931 dan kutub utara geografi. Proyeksi kutub utara geografi pada bola langit merupakan kutub utara langit. Kutub utara langit merupakan salah satu ujung sumbu edar gerak semu harian benda langit. (Off the Beaten Path Maps)[2]
Gambar 18. Deklinasi magnetik bernilai positif jika arah utara magnet di timur utara geografi.
Gambar 19. Peta deklinasi magnetik, akurat untuk setidaknya lima tahun. Garis-Garis pada peta menghubungkan daerah-daerah dengan deklinasi magnetik sama. (National Imaging and Mapping Agency)[3] -- Klik pada gambar untuk memperbesar!
Gambar 20. Untuk mengetahui perkiraan deklinasi magnetik dari NOAA, dibutuhkan informasi koordinat lokasi pengamatan, yang bisa diperoleh dari, misalnya, Wikimapia.
Gambar 21. Simulasi bayangan benda pada 25 Juli 2010. Lingkaran digunakan sebagai penanda jarak dari dasar tiang. Jari-jarinya boleh berapapun, tapi sebaiknya lebih kecil dari panjang tiang supaya jam pemeriksaan bayangan tidak terlalu lama sebelum atau sesudah Matahari pada posisi tertingginya. Panjang dan posisi bayangan didasarkan pada model posisi Matahari dari perangkat lunak Stellarium.
Gambar 22. Simulasi bayangan benda pada 25 Juli 2010 dan arah timur dan barat geografi, atau azimut 90° dan 270°, yang ditentukan melalui pengukuran panjang bayangan tiang. Penentuan timur-barat lokal geografi dengan cara ini gagal hanya di kutub. (Di kutub memang tidak ada timur-barat.) Panjang dan posisi bayangan didasarkan pada model posisi Matahari dari perangkat lunak Stellarium.
