Jumat, 06 Agustus 2010

Segitiga Kok Bola

Persamaan dalam makalah ini dibuat menggunakan render engine LaTeX dari CodeCogs.

Segitiga adalah bangun datar yang disusun oleh tiga garis lurus. Penjumlahan panjang dua garisnya, yang manapun itu, selalu lebih besar dari panjang garis ketiga. Sifat khas lainnya yaitu penjumlahan semua sudutnya selalu 180°. Ada kasus menarik terkait dengan segitiga.

Ambil globe dan temukan kutub utara! Tandai kutub utara sebagai titik A! Tentukan dua titik pada khatulistiwa yang selisih bujurnya 90°! Tandai keduanya sebagai B dan C! Tarik tiga garis lurus yang menghubungkan ketiganya! Bangun apakah yang terbentuk?

Gambar 1. Bangun yang dibentuk oleh garis-garis yang menghubungkan kutub utara serta dua titik pada khatulistiwa yang selisih bujurnya 90°.

Garis-garis pada bangun merupakan garis lurus. Penjumlahan panjang dua garisnya selalu lebih besar dari panjang garis ketiga. Dengan dua pertimbangan tadi, janganlah Anda ragu-ragu untuk menyatakan bahwa bangun yang terbentuk merupakan segitiga! Mari kita periksa sudut-sudutnya!

Di kutub, ada dua garis bertemu. Selisih bujur dua garis tersebut besarnya 90°. Sudut antara keduanya pasti 90°. Di titik B, ada pertemuan dua garis juga; satu garis menyusuri bujur dan satu lagi menyusuri khatulistiwa. Jadi, sudut di titik B pun pasti 90°. Jika kini Anda tercengang, saya maklum; penjumlahan dua sudut tadi sudah 180°. Saya juga maklum jika Anda mulai meragukan kelayakan bangun kita tadi disebut segitiga. Tapi mari kita lanjutkan pemeriksaannya!

Berapakah sudut di titik C? Sudutnya 90°. Jadi kini, kita punya bangun, maaf, segitiga, yang jumlah semua sudutnya 270°.


Relax Retaliation

Penjumlahan semua sudut segitiga selalu 180° hanya jika bidangnya datar. Bangun yang tadi kita buat pada dasarnya memang segitiga, namun dibangun pada bidang lengkung, bukan datar. Jika dibangun pada permukaan bola, segitiga yang terbentuk disebut segitiga bola.

Kajian segitiga bola dibutuhkan untuk mempelajari gerakan benda langit. Semua benda langit seolah-olah terletak pada bola langit. Bola langit, seperti namanya, berbentuk bola. Jadi, segala garis atau bidang pada bola langit tidak bisa ditinjau sebagai garis atau bidang pada bidang datar.

Mari kita tinjau anatomi bola!

Gambar 2. Anatomi bangun ruang bola.

Lingkaran besar merupakan lingkaran pada permukaan bola yang pusatnya tepat di pusat bola. Jika tidak memotong pusat bola, lingkaran tersebut disebut lingkaran kecil. Konsep lingkaran besar sangat penting dalam kajian bangun bola karena busur lingkaran besar merupakan jarak terpendek antara dua titik di permukaan bola. Tiga garis yang tadi kita buat pada globe merupakan busur dari lingkaran besar. Perlu juga diketahui bahwa para matematikawan telah mendefinisikan segitiga bola sebagai segitiga yang dibentuk oleh perpotongan tiga lingkaran besar.

Hingga kini, kita telah menemukan satu keanehan segitiga bola; jumlah semua sudutnya lebih besar dari 180°. Mari kita curiga! Adakah keanehan-keanehan lain pada segitiga bola?


Let Angle Defines

Tinjau perbandingan dua busur lingkaran besar berikut!

Gambar 3. Perbandingan dua busur lingkaran besar pada khatulistiwa. Kedua busur tersebut melingkupi sudut juring yang sama karena melingkupi bentang bujur yang sama. Yang berbeda pada kedua busur yaitu panjang dan jari-jarinya.


Tinjau perbandingan lain berikut, sebagai pengembangan perbandingan sebelumnya!
Gambar 4. Perbandingan sudut pada perpotongan dua busur lingkaran besar pada dua bola. Kedua sudut pasti sama karena dibentuk oleh garis-garis bujur yang sama.

Pada segitiga, dan semua bangun datar, kita mengenal konsep sudut dan panjang sisi. Dua konsep ini bisa saja kita terapkan pada segitiga bola. Tapi ingatlah kembali sudut juring yang dilingkupi suatu busur lingkaran besar! Bukankah panjang busur tergantung jari-jari dan sudutnya? Jika hanya satu bola yang ditinjau, berarti panjang busur hanya tergantung pada sudut juringnya bukan? Mari kita nyatakan panjang busur lingkaran besar dalam satuan sudut!

Gambar 5. Sisi dan sudut pada segitiga datar dan segitiga bola.

Scrutinizing the Sphere

Mari kita analisis besaran-besaran dalam segitiga bola!

Gambar 6. Besaran-besaran dalam segitiga bola.

Dalam gambar di atas, A, B, dan C yaitu sudut-sudut pada segitiga bola, x, y, dan z yaitu sisi-sisi segitiga bola, \hat{A}, \hat{B}, dan \hat{C} yaitu vektor-vektor unit dari pusat bola yang mengarah ke A, B, dan C, sedangkan \hat{t_{m,N}} yaitu vektor unit sepanjang m, berpangkal di N, dan tegak lurus \hat{N}.

\\ \hat{A} \cdot \hat{B} = \left| \hat{A} \right| \left| \hat{B} \right| \cos z \\ \Rightarrow \hat{A} \cdot \hat{B} = \cos z \cdots \cdots \left( 1a \right) \\ \hat{B} \cdot \hat{C} = \left| \hat{B} \right| \left| \hat{C} \right| \cos x \\ \Rightarrow \hat{B} \cdot \hat{C} = \cos x \cdots \cdots \left( 1b \right) \\ \hat{A} \cdot \hat{C} = \left| \hat{A} \right| \left| \hat{C} \right| \cos y \\ \Rightarrow \hat{A} \cdot \hat{C} = \cos y \cdots \cdots \left( 1c \right)

Telah didefinisikan bahwa \hat{t_{m,N}} selalu tegak lurus \hat{N}. Berlakulah hubungan berikut.

\\ \hat{t_{z,A}} \parallel \hat{B} - \hat{A}\cos z \cdots\cdots \left( 2a \right) \\ \hat{t_{y,A}} \parallel \hat{C} - \hat{A}\cos y \cdots\cdots \left( 2b \right) \\ \hat{t_{y,C}} \parallel \hat{A} - \hat{C}\cos y \cdots\cdots \left( 2c \right) \\ \hat{t_{x,C}} \parallel \hat{B} - \hat{C}\cos x \cdots\cdots \left( 2d \right) \\ \hat{t_{x,B}} \parallel \hat{C} - \hat{B}\cos x \cdots\cdots \left( 2e \right) \\ \hat{t_{z,B}} \parallel \hat{A} - \hat{B}\cos z \cdots\cdots \left( 2f \right)

Vektor unit yaitu vektor yang besarnya satu. Supaya \hat{t_{m,N}} besarnya satu, ruas kanan pada (2) harus dibagi dengan nilai mutlak ruas kanan itu sendiri. Dengan demikian, dapat diturunkan hubungan-hubungan berikut.

\\ \hat{t_{z,A}} = \frac{\hat{B} - \hat{A}\cos z}{\left| \hat{B} - \hat{A}\cos z \right|} \cdots\cdots \left( 3a \right) \\ \hat{t_{y,A}} = \frac{\hat{C} - \hat{A}\cos y}{\left| \hat{C} - \hat{A}\cos y \right|} \cdots\cdots \left( 3b \right) \\ \hat{t_{y,C}} = \frac{\hat{A} - \hat{C}\cos y}{\left| \hat{A} - \hat{C}\cos y \right|} \cdots\cdots \left( 3c \right) \\ \hat{t_{x,C}} = \frac{\hat{B} - \hat{C}\cos x}{\left| \hat{B} - \hat{C}\cos x \right|} \cdots\cdots \left( 3d \right) \\ \hat{t_{x,B}} = \frac{\hat{C} - \hat{B}\cos x}{\left| \hat{C} - \hat{B}\cos x \right|} \cdots\cdots \left( 3e \right) \\ \hat{t_{z,B}} = \frac{\hat{A} - \hat{B}\cos z}{\left| \hat{A} - \hat{B}\cos z \right|} \cdots\cdots \left( 3f \right)

Vektor unit \hat{A}, \hat{B}, dan \hat{C} besarnya satu. Berlaku pulalah hubungan berikut.

\\ \sin z = \left| \hat{B} - \hat{A}\cos z \right| \cdots\cdots \left( 4a \right) \\ \sin y = \left| \hat{C} - \hat{A}\cos y \right| \cdots\cdots \left( 4b \right) \\ \sin y = \left| \hat{A} - \hat{C}\cos y \right| \cdots\cdots \left( 4c \right) \\ \sin x = \left| \hat{B} - \hat{C}\cos x \right| \cdots\cdots \left( 4d \right) \\ \sin x = \left| \hat{C} - \hat{B}\cos x \right| \cdots\cdots \left( 4e \right) \\ \sin z = \left| \hat{A} - \hat{B}\cos z \right| \cdots\cdots \left( 4f \right)

Menggunakan (4), hubungan (3) dapat disederhanakan.

\\ \hat{t_{z,A}} = \frac{\hat{B} - \hat{A}\cos z}{\sin z} \cdots\cdots \left( 5a \right) \\ \hat{t_{y,A}} = \frac{\hat{C} - \hat{A}\cos y}{\sin y} \cdots\cdots \left( 5b \right) \\ \hat{t_{y,C}} = \frac{\hat{A} - \hat{C}\cos y}{\sin y} \cdots\cdots \left( 5c \right) \\ \hat{t_{x,C}} = \frac{\hat{B} - \hat{C}\cos x}{\sin x} \cdots\cdots \left( 5d \right) \\ \hat{t_{x,B}} = \frac{\hat{C} - \hat{B}\cos x}{\sin x} \cdots\cdots \left( 5e \right) \\ \hat{t_{z,B}} = \frac{\hat{A} - \hat{B}\cos z}{\sin z} \cdots\cdots \left( 5f \right)

Vektor unit \hat{t_{m,N}} berpangkal di N. Jadi, perkalian titik dua \hat{t_{m,N}} yang pangkalnya sama merupakan kosinus pangkal tersebut.

\\ \cos A = \hat{t_{z,A}} \cdot \hat{t_{y,A}} \\ \Rightarrow\cos A = \frac{\hat{B} - \hat{A} \cos z}{sin z} \cdot \frac{\hat{C} - \hat{A} \cos y}{\sin y} \\ \Rightarrow \cos A = \frac{\cos x - \cos y\cos z}{\sin y\sin z} \cdots\cdots \left( 6a \right) \\ \cos B = \hat{t_{z,B}} \cdot \hat{t_{x,B}} \\ \Rightarrow\cos B = \frac{\hat{A} - \hat{B}\cos z}{\sin z} \cdot \frac{\hat{C} - \hat{B}\cos x}{\sin x} \\ \Rightarrow \cos B = \frac{\cos y - \cos x\cos z}{\sin x\sin z} \cdots\cdots \left( 6b \right) \\ \cos C = \hat{t_{x,C}} \cdot \hat{t_{y,C}} \\ \Rightarrow\cos C = \frac{\hat{B} - \hat{C}\cos x}{\sin x} \cdot \frac{\hat{A} - \hat{C}\cos y}{\sin y} \\ \Rightarrow \cos C = \frac{\cos z - \cos x\cos y}{\sin x\sin y} \cdots\cdots \left( 6c \right)

Dari (6), dapat disimpulkan jika diketahui nilai tiga sisi/sudut, dapat dihitung nilai sisi/sudut keempat, dan seterusnya hingga keenam.


Apt Application

Koordinat Bandung yaitu 6°54'53" LS dan 107°36'35" BT.[1] Sementara itu, koordinat Mekah, kota tempat Kabah berada, 21°25' LU dan 39°49' BT.[2] Dari data koordinat dua posisi ini, bisa ditentukan arah kiblat dari Bandung.

Berikut ilustrasi segitiga bola yang dibentuk oleh kutub utara, Bandung, dan Mekah.

Gambar 7. Ilustrasi kasus arah kiblat dari Bandung.

Berikut nilai besaran-besaran dalam segitiga bola tersebut.

\\ B = 90^\circ - 21^\circ 25' = 68^\circ 35' \cdots\cdots \left( 7a \right) \\ C = 90^\circ + 6^\circ5 4'53'' = 96^\circ 54'53'' \cdots\cdots \left( 7b \right) \\ K = 107^\circ 36'35'' - 39^\circ 49' = 67^\circ 47'35'' \cdots\cdots \left( 7c \right)

Dari (6), bisa diketahui nilai sudut A.

\\ \cos K = \frac{\cos A - \cos B\cos C}{\sin B\sin C} \\ \Rightarrow \cos A = \cos B \cos C + \cos K \sin B \sin C \\ \Rightarrow \cos A = 0,3053 \cdots\cdots \left( 8 \right)

Dengan demikian, bisa diketahui arah kiblat dari Bandung.

\\ \cos Bandung = \frac{\cos B - \cos A\cos C}{\sin A\sin C} \\ \Rightarrow \cos Bandung = \frac{\cos B - \cos A\cos C}{\sin C \sqrt{1 - \cos^2 A}} \\ \Rightarrow \cos Bandung = 0,4252 \\ \Rightarrow Bandung = 64,8395^\circ \cdots\cdots \left( 9 \right)

Jadi dari Bandung, arah kiblat yaitu sekitar 65° dari utara ke barat, atau sekitar 25° dari barat ke utara, atau azimut 295°. (Penjelasan tentang azimut dapat dibaca di Alamat Bintang.)


Rujukan

[1]http://en.wikipedia.org/wiki/Bandung
[2]http://en.wikipedia.org/wiki/Mecca

Tidak ada komentar: