Koreksi Alamat Bintang

Dalam Alamat Bintang, dipaparkan cara mengukur ketinggian dan azimut benda langit. Untuk kasus Matahari, pengukuran bisa dilakukan dengan sebuah tiang dan landasan berskala. Pengukuran dengan cara ini cukup akurat, namun sebenarnya akurasinya layak dipertanyakan. What is the meaning of the maksud?

Falsifying Fact

Pengukuran ketinggian menggunakan tiang dalam Alamat Bintang memanfaatkan asumsi bahwa sinar Matahari tiba di permukaan Bumi sebagai berkas sejajar.

Gambar 1. Asumsi yang sering digunakan dalam pengamatan Matahari di permukaan Bumi; sinar Matahari tiba di permukaan Bumi sebagai berkas sejajar. (foto Bumi oleh Harrison Schmitt dan Ron Evans)^[1]

Benarkah asumsi tadi? Tidak!

Sinar Matahari memang tiba di permukaan Bumi sebagai berkas hampir sejajar, tapi tidak tepat sejajar. Sumber sinar Matahari, yakni massa Matahari, yang panas karena adanya reaksi nuklir di intinya, berbentuk bundar. Massa ini memancarkan sinar ke segala arah. Dengan demikian, berkas sinar Matahari tidak sejajar karena dipancarkan secara menyebar ke segala arah dari satu sumber.

Dampaknya yaitu sudut ketinggian Matahari dari dasar tiang tidak sama dengan sudut ketinggian dari puncak tiang.

Gambar 2. Ilustrasi kondisi terkait pengukuran sudut ketinggian Matahari menggunakan tiang. (foto Bumi oleh Harrison Schmitt dan Ron Evans)

Secara umum, inilah kondisi yang terjadi dalam pengukuran sudut ketinggian Matahari dari daerah mana pun selain di pusat massa Bumi.

Gambar 3. Pengukuran sudut ketinggian Matahari dari permukaan laut dan dari puncak gunung. Hasil keduanya berbeda.

Stay Cool, Stay Calm, Stay Confident

Tenangkan diri kita, tarik napas dalam-dalam, hembuskan pelan-pelan, lalu mari kita periksa seberapa gawat situasinya!

Gambar 4. Beberapa parameter dalam pengukuran sudut ketinggian Matahari. (foto Bumi oleh Harrison Schmitt dan Ron Evans)

Sudut \alpha yaitu sudut ketinggian yang didapat dari invers tangen tinggi tiang dan bayangannya, \beta yaitu sudut ketinggian dari dasar tiang, h yaitu tinggi tiang, R yaitu jarak antara dasar tiang dan Matahari, r yaitu jarak antara puncak tiang dan Matahari, D yaitu jarak antara pusat Bumi dan Matahari, dan R_{Bumi} yaitu jari-jari Bumi.

Diasumsikan nilai R_{Bumi} 6.371,0 km dan D 150.000.000 km.^[2] Akan dianalisis kondisi-kondisi tertentu yang melibatkan nilai minimum atau maksimum \beta dan \alpha.

First Extreme

Berikut kondisi ketika R dan r minimum. Pada kondisi ini setinggi apapun tiangnya, \beta dan \alpha sama-sama bernilai 90°.

Gambar 5. Orientasi tiang terhadap Matahari ketika sudut ketinggian Matahari 90°. Susunan ini terjadi saat tengah hari. (foto Bumi oleh Harrison Schmitt dan Ron Evans)

Second Extreme

Berikut kondisi ketika ketinggian Matahari 0°, diukur dari puncak tiang, atau ketika \alpha bernilai 0°.

Gambar 6. Orientasi tiang terhadap Matahari ketika sudut ketinggian Matahari 0°, diukur dari puncak tiang. Susunan ini terjadi sesudah Matahari terbit atau sebelum Matahari terbenam. (foto Bumi oleh Harrison Schmitt dan Ron Evans)

Berikut nilai R.

R = \sqrt{r^2 + h^2} \\ = \sqrt{D^2 - \left(R_{Bumi} + h\right)^2 + h^2} \\ = \sqrt{D^2 - R_{Bumi}^2 - 2R_{Bumi}h}  \cdots\cdots \left(1\right)

Kondisi berikut harus dipenuhi supaya \beta tidak lebih besar dari 0,01°.

\beta \le 0,01^\circ \\ \Rightarrow\sin\beta\le\sin0,01^\circ \\ \Rightarrow \frac{h}{\sqrt{D^2 - R_{Bumi}^2 - 2R_{Bumi}h}} \le \sin0,01^\circ \\ \Rightarrow \frac{h^2}{D^2 - R_{Bumi}^2 - 2R_{Bumi}h} \le \sin^20,01^\circ \\ \Rightarrow Ah^2 + Bh + C \le 0 \cdots\cdots\left(2 \right)

\\ A = 1\cdots\cdots\left(3a\right) \\ B = 2R_{Bumi}\sin^20,01^\circ \cdots\cdots\left(3b\right) \\ C = -\left( D^2-R^2_{Bumi} \right)\sin^20,01^\circ \cdots\cdots\left(3c\right)

Berikut nilai-nilai batas untuk pertidaksamaan (2).

h = \frac{-B \pm \sqrt{B^2 - 4AC}}{2A} \\ \Rightarrow h_1 = 26.180 \text{ km}\cdots\cdots\left(4a\right) \\ \Rightarrow h_2 = -26.180 \text{ km}\cdots\cdots\left(4b\right)

Jadi ketika \alpha bernilai 0°, \beta bernilai tidak akan lebih dari 0,01° selama tinggi tiang tidak lebih dari sekitar 26 ribu kilometer. (Macam apa pula tiang yang panjangnya 26 ribu kilometer?)

Third Extreme

Berikut kondisi ketika ketinggian Matahari 0°, diukur dari dasar tiang, atau ketika \beta bernilai 0°.

Gambar 7. Orientasi tiang terhadap Matahari ketika sudut ketinggian Matahari 0°, diukur dari dasar tiang. Susunan ini terjadi saat Matahari terbit atau terbenam. (foto Bumi oleh Harrison Schmitt dan Ron Evans)

Berikut nilai r.

r = \sqrt{R^2 + h^2} \\ = \sqrt{D^2-R^2_{Bumi} + h^2} \cdots\cdots \left(5\right)

Kondisi berikut harus dipenuhi supaya \alpha tidak lebih besar dari 0,01°.

\alpha \le 0,01^\circ \\ \Rightarrow\sin\alpha\le\sin0,01^\circ \\ \Rightarrow \frac{h}{\sqrt{D^2 - R^2_{Bumi} + h^2}} \le \sin0,01^\circ \\ \Rightarrow \frac{h^2}{D^2 - R^2_{Bumi} + h^2} \le \sin^20,01^\circ \\ \Rightarrow X^2h^2 - Y^2 \le 0\cdots\cdots\left(6\right)

\\ X^2 = 1 - \sin^2 0,01^\circ\cdots\cdots\left(7a\right) \\  Y^2 = \left(D^2-R_{Bumi}^2\right)\sin^2 0,01^\circ\cdots\cdots\left(7b\right)

Berikut nilai-nilai batas untuk pertidaksamaan (6).

h = \pm Y/X \\ \Rightarrow h_1 =26.180 \text{ km}\cdots\cdots\left(8a\right) \\ \Rightarrow h_2 = -26.180 \text{ km}\cdots\cdots\left(8b\right)

Jadi lagi-lagi ketika \beta bernilai 0°, \alpha bernilai tidak akan lebih dari 0,01° selama tinggi tiang tidak lebih dari sekitar 26 ribu kilometer. (Tiang apa pula ini?)

Call of Challenge

Alhamdu lillah, pengukuran ketinggian Matahari menggunakan tiang yang panjangnya "lumrah" cukup akurat. Pokoknya selama tinggi tiang tidak lebih dari 26 juta kilometer, selisih \beta dan \alpha tidak akan lebih dari 0,01°.

Hanya tiga kondisi tadi yang perlu dipertimbangkan karena 1) pengukuran ketinggian Matahari tidak dapat dilakukan jika Matahari di bawah cakrawala dan 2) nilai maksimum atau minimum \beta dan \alpha terjadi pada tiga kondisi tadi.

Analisis dalam tulisan ini didasarkan pada asumsi bahwa jari-jari Bumi 6.371,0 km dan bahwa jarak Bumi-Matahari 150.000.000 km. Kenyataannya, jari-jari kutub Bumi 6.356,8 km, jari-jari khatulistiwa Bumi 6.378,1 km, jarak terdekat Bumi-Matahari 147.098.290 km, dan jarak terjauh Bumi-Matahari 152.098.232 km.

Perhitungkan semua besaran tadi dalam analisis selisih \beta dan \alpha!

Rujukan

^[1]http://en.wikipedia.org/wiki/File:The_Earth_seen_from_Apollo_17.jpg
^[2]Dr. David R. Williams, Earth Fact Sheet (NSSDC, penyuntingan terakhir 20 Mei 2009, http://nssdc.gsfc.nasa.gov/planetary/factsheet/earthfact.html)