Segitiga Siku-Siku Suka-Suka Saya

Salah satu topik dalam kajian geometri bidang datar yakni teorema Phytagoras. Dalam teorema ini, disebutkan bahwa jika c sisi miring sementara a dan b dua sisi yang saling berpenyiku dalam suatu segitiga siku-siku, maka berlaku hubungan c^2=a^2+b^2.

Rumusan teorema Phytagoras telah banyak dikenal oleh hampir semua siswa pendidikan menengah. Namun, tidak semua guru mengajarkan pembuktian teorema Phytagoras.

Makalah ini berisi pembuktian teorema Phytagoras dan penerapan teorema Phytagoras untuk memecahkan masalah yang berhubungan dengan segitiga bukan siku-siku.

Profesionally Proven

Ada beragam cara untuk membuktikan teorema Phytagoras. Dari beragam cara tersebut, yang paling intuitif yaitu cara geometris. Tinjaulah kasus struktur geometri berikut.

Gambar 1. Bangun persegi yang tersusun atas sebuah persegi yang lebih kecil dan empat buah segitiga siku-siku.

Dalam struktur di atas, panjang sisi persegi besar yaitu \left(a+b\right), sedangkan panjang sisi persegi kecil yaitu c. Nilai c ini sekaligus merupakan panjang sisi miring setiap segitiga siku-siku. Sementara itu, panjang sisi yang saling berpenyiku dalam setiap segitiga siku-siku yakni a dan b.

Luas persegi besar sama dengan jumlah luas persegi kecil dan luas empat buah segitiga siku-siku.

\left(a+b\right)^2=c^2+4\cdot \left(\tfrac{1}{2}ab\right) \\ \Rightarrow a^2+2ab+b^2=c^2+2ab \\ \Rightarrow a^2+b^2=c^2\cdots\cdots\left(1\right)

Persamaan (1) merupakan rumusan teorema Phytagoras.

Weighing the Height

Teorema Phytagoras dapat digunakan untuk menentukan nilai besaran-besaran pada segitiga yang bukan siku-siku sekalipun. Dalam pasal ini, akan dijelaskan cara menentukan panjang garis tinggi dan garis berat segitiga sembarang.

Tinjaulah kasus segitiga sembarang berikut!

Gambar 2. Segitiga sembarang yang semua sudutnya merupakan sudut lancip.

Dalam segitiga di atas, RS merupakan garis tinggi. Garis tinggi RS membagi segitiga PQR menjadi dua segitiga siku-siku, yakni segitiga QRS dan segitiga PRS. Berikut hubungan antara garis tinggi RS dan sisi-sisi segitiga PQR.

\\RS^2=QR^2-QS^2\cdots\cdots\left(2a\right)\\RS^2=PR^2-PS^2\cdots\cdots\left(2b\right)

Dari (2a) dan (2b), dapat ditentukan hubungan berikut.

PR^2-PS^2=QR^2-QS^2 \\ \Rightarrow PR^2-PS^2 = QR^2-\left(PQ-PS\right)^2 \\ \Rightarrow PR^2=QR^2-PQ^2+2PQ\cdot PS \\ \Rightarrow PS=\frac{PQ^2+PR^2-QR^2}{2PQ}\cdots\cdots\left(3\right)

Dari (2b) dan (3), dapat ditentukan panjang garis tinggi RS.

\begin{aligned}
RS & =\sqrt{PR^2-PS^2}
\\ & =\sqrt{PR^2-\left(\frac{PQ^2+PR^2-QR^2}{2PQ}\right)^2}\cdots\cdots\left(4a\right)
\end{aligned}

Panjang garis tinggi RS dapat pula ditentukan dengan persamaan berikut, yang ekivalen dengan persamaan (4a).

RS=\sqrt{QR^2-\left(\frac{PQ^2+QR^2-PR^2}{2PQ}\right)^2}\cdots\cdots\left(4b\right)

Dari (3) dan (4a) atau (4b), dapat ditentukan panjang garis berat RT.

\begin{aligned}
RT & =\sqrt{RS^2+ST^2}
\\ & =\sqrt{RS^2+\left(PS-\tfrac{1}{2}PQ\right)^2}
\\ & =\sqrt{RS^2+PS^2-PS\cdot PQ+\tfrac{1}{4}PQ^2}
\\ & =\sqrt{PR^2-PS\cdot PQ+\tfrac{1}{4}PQ^2}
\\ & =\sqrt{PR^2-\frac{PQ^2+PR^2-QR^2}{2}+\tfrac{1}{4}PQ^2}
\\ & =\sqrt{\tfrac{1}{4}\left(2PR^2-PQ^2+2QR^2\right)}\cdots\cdots\left(5\right)
\end{aligned}

Persamaan (4a), (4b), dan (5) masih berlaku bahkan jika segitiga yang ditinjau memiliki sudut tumpul. Tinjau kasus segitiga berikut.

Gambar 3. Segitiga sembarang yang salah satu sudutnya merupakan sudut tumpul.

Dalam segitiga di atas, RS merupakan garis tinggi. Garis tinggi RS merupakan garis tinggi segitiga siku-siku QRS dan segitiga siku-siku PRS. Berikut hubungan antara garis tinggi RS dan sisi-sisi segitiga PQR.

\\ RS^2=QR^2-QS^2\cdots\cdots\left(6a\right) \\ RS^2=PR^2-PS^2\cdots\cdots\left(6b\right)

Dari (6a) dan (6b), dapat ditentukan hubungan berikut.

PR^2-PS^2=QR^2-QS^2 =QR^2-\left(PS-PQ\right)^2 \\ \Rightarrow PR^2=QR^2-PQ^2+2PQ\cdot PS \\ \Rightarrow PS=\frac{PQ^2+PR^2-QR^2}{2PQ}\cdots\cdots\left(7\right)

Persamaan (7) benar-benar sama dengan persamaan (3), sebagaimana persamaan (6a) dan (6b) sama dengan persamaan (2a) dan (2b). Dengan demikian, substitusi persamaan (7) ke persamaan (2b) akan menghasilkan persamaan yang sama persis dengan persamaan (4a). Lebih jauh lagi, maka persamaan (4b) dan (5) berlaku juga untuk segitiga sembarang yang memiliki sudut tumpul. Jika persamaan (4a), (4b), dan (5) berlaku untuk semua segitiga sembarang, maka persamaan-persamaan tersebut berlaku juga untuk segala jenis segitiga.

Divide and Conquer

Dalam suatu konstruksi sudut, dapat dibuat sebuah garis yang membagi sudut tersebut menjadi dua sudut yang lebih kecil dan sama besarnya. Garis ini disebut garis bagi sudut.

Tinjau kasus segitiga berikut!

Gambar 4. Segitiga sembarang beserta garis tinggi dan garis bagi sudutnya.

Dalam struktur di atas, garis bagi sudut RV membagi segitiga PQR menjadi segitiga PRV dan segitiga QRV. Karena besar \angle PRV dan \angle QRV sama, berlaku hubungan berikut.

\frac{PR}{PU}=\frac{QR}{QW} \\ \Rightarrow \frac{PR}{QR}=\frac{PU}{QW}\cdots\cdots\left(8\right)

Sementara itu, segitiga PUV sebangun dengan segitiga QVW. Dari hubungan ini dan (8), berlaku hubungan berikut.

\frac{PV}{PU}=\frac{QV}{QW} \\ \Rightarrow \frac{PU}{QW}=\frac{PV}{QV}=\frac{PR}{QR}\cdots\cdots\left(9\right)

Dari (9), dapat ditentukan panjang ruas PV.

PV=\frac{PV}{\left(PV+QV\right)}\cdot PQ \\ =\frac{PR}{\left(PR+QR\right)}\cdot PQ\cdots\cdots\left(10\right)

Dari teorema Phytagoras serta persamaan (3), (4a) dan (10), dapat ditentukan persamaan panjang garis bagi sudut RV.

RV=\sqrt{RS^2+SV^2} \\ =\sqrt{RS^2+\left(PV-PS\right)^2} \\ =\sqrt{RS^2+PV^2-2PV\cdot PS+PS^2} \\ =\sqrt{PR^2-X+Y}\cdots\cdots\left(11\right)

\\ X=\frac{PR}{\left(PR+QR\right)}\cdot \left(PQ^2+PR^2-QR^2\right) \\ Y=\frac{PR^2\cdot PQ^2}{\left(PR+QR\right)^2}

Persamaan (11), yang panjang itu, merupakan persamaan panjang garis bagi sudut suatu segitiga.