Materi ini ditulis bersama dengan Dra. Etty Jaskarti, M.Pd.
Laju revolusi planet tidak tetap. Di dekat perihelion, kelajuan planet lebih besar daripada di dekat aphelion. Laju orbit dan kala revolusi planet dijelaskan dengan Hukum Kepler.
Pada abad 2, Claudius Ptolomeus merumuskan teori geosentris, yaitu model Bumi sebagai pusat alam semesta dan planet-planet bergerak melingkar mengelilingi Bumi. Pada abad 16, Copernicus (1473-1543) mengajukan kembali teori heliosentris, dengan Matahari sebagai pusat Tata Surya dan planet-planet beredar mengelilinginya.
Pertentangan kedua teori tadi mendorong para ahli mengumpulkan data pengamatan, seperti yang dilakukan oleh Tycho Brahe (1546-1601). Data gerak planet dari pengamatan Tycho Brahe dianalisis selama kurang lebih 20 tahun oleh Johannes Kepler (1571-1630). Kesimpulan Kepler dituangkan dalam ketiga hukumnya tentang gerak planet.
Kepler's Laws
Berikut Hukum I Kepler.
"Semua planet bergerak dalam lintasan elips dan Matahari terletak pada salah satu fokusnya."
Dalam lintasan elips, ada posisi terdekat dan terjauh dari titik fokusnya. Elips adalah suatu kurva tertutup sedemikian sehingga jumlah jarak dari sembarang titik ke kedua titik fokusnya tetap. Definisi ini diilustrasikan dalam gambar di bawah.
Gambar 1. Kurva elips. Definisi elips yaitu kumpulan titik, atau kurva, yang jumlah jaraknya dari kedua fokus selalu tetap; F1P1 + F2P1 = F1P2 + F2P2.
Berikut Hukum II Kepler.
"Setiap planet bergerak sedemikian sehingga suatu garis khayal yang ditarik dari Matahari ke planet tersebut akan menyapu luas yang sama dalam selang waktu yang sama."
Gambar 2. Jika sebuah planet yang mengorbit Matahari menyapu daerah A dan B yang luasnya sama, maka waktu tempuh sapuannya juga sama. Ini berarti kelajuan ketika menyapu A lebih kecil dari ketika menyapu B.
Berikut Hukum III Kepler.
"Kuadrat kala revolusi planet sebanding dengan pangkat tiga jarak rata-rata planet tersebut ke Matahari."
Jika T periode dan R rata-rata jarak ke Matahari, berlaku rumusan berikut.
\\\frac{T^2}{R^3}=\text{konstan}\cdots\cdots\left(1\right)
Untuk dua planet, berlaku hubungan berikut.
\\\frac{T_1^2}{R_1^3}=\frac{T_2^2}{R_2^3}\cdots\cdots\left(2\right)
Hukum Kepler merupakan dukungan kuat untuk teori Copernicus. Meski demikian, Kepler tidak memiliki konsep gaya sebagai penyebab berlakunya kesimpulannya. Newtonlah yang berhasil menurunkan Hukum Kepler dari Hukum Gravitasi Universal yang digagasnya. (Lihat alur pemikiran penurunan Hukum Kepler dari Hukum Gerak Newton dan Hukum Gravitasi Universal di Gara-Gara Gravitasi.)
Hukum Gravitasi Universal mengharuskan setiap planet ditarik menuju Matahari dengan sebuah gaya yang berbanding terbalik dengan kuadrat jarak dari Matahari. Dengan gagasan ini, Newton mampu menerangkan gerak planet di Tata Surya dan gerak jatuh di dekat permukaan Bumi dengan satu konsep saja. Dengan kata lain, Newton berhasil menyatukan mekanika benda langit dan mekanika kebumian, yang sebelumnya dua kajian terpisah.
Undisputed Universality
Sebelumnya, Galileo telah mempelajari gerak benda di Bumi dan Kepler telah menyatakan tiga hukum yang menggambarkan gerakan planet. Kajian keduanya dilanjutkan oleh Newton, yang berusaha menjelaskan gerakan benda di Bumi dan gerakan planet. Akhirnya, Newton memperoleh rumusan yang mendeskripsikan mekanisme umum pergerakan segala benda.
Newton memikirkan kasus benda jatuh. Karena setiap benda jatuh mengalami percepatan, Newton menyimpulkan bahwa terdapat gaya yang bekerja pada benda tersebut. Gaya ini disebut gaya gravitasi. Pertanyaannya yaitu bagaimana gaya ini bekerja pada. Jika pada benda bekerja suatu gaya maka gaya itu tentu saja berasal dari benda lain. Karena setiap benda yang dilepaskan selalu jatuh ke Bumi, Newton menganggap bahwa Bumi sendiri yang melakukan gaya pada setiap benda. Arah gaya gravitasi ini selalu menuju pusat Bumi.
Jika gaya gravitasi Bumi bekerja pada puncak pohon dan juga pada puncak gunung, tentu gaya ini juga bekerja pada Bulan dan juga bekerja pada benda-benda langit. Berdasarkan inspirasi ini, dan dengan bantuan dan dorongan yang kuat dari Robert Hooke (1635-1703), Newton kemudian membangun Hukum Gravitasi Universal.
Dari hasil pekerjaan Galileo dan ilmuwan lainnya, Newton mengetahui bahwa percepatan benda yang jatuh bebas dekat permukaan Bumi yaitu 9,8 m/s2 ke arah pusat Bumi. Selanjutnya, Newton membandingkan percepatan sentripetal bulan yang bergerak mengelilingi Bumi dan percepatan gravitasi di permukaan Bumi. Newton mengetahui bahwa Bulan mempunyai percepatan yang arahnya ke Bumi dan orbit yang hampir melingkar. Percepatan ini disebabkan oleh suatu gaya dari Bumi, yang secara kontinu menarik Bulan. Inilah gaya gravitasi, gaya yang sama dengan yang menarik apel jatuh ke Bumi. Tapi apakah gaya tarik ini sama untuk Bulan, yang jaraknya lebih jauh dari permukaan Bumi, dan apel? Apakah lebih kuat atau lebih lemah?
Mula-mula, Newton mencari kelajuan Bulan mengelilingi Bumi. Rata-rata jarak orbit Bulan yaitu 384.000 km. Untuk sekali mengorbit Bumi, dibutuhkan waktu bagi Bulan sebanyak 27,3 hari. Dapat dihitung bahwa kelajuan Bulan mengelilingi Bumi besarnya 1.033,75 m/s. Dapat dihitung pula bahwa percepatan sentripetal Bulan menuju Bumi.
a_{sp}=\frac{v^2}{R}\\\Rightarrow a_{sp}=\left(\frac{2 \pi R}{T}\right)^2 \frac{1}{R}\\\Rightarrow a_{sp}=\tfrac{4 \pi^2}{T^2}R\\\Rightarrow a_{sp}=2,72\cdot 10^{-3}\text{ m/s}^2\cdots\cdots\left(3\right)
Percepatan gravitasi di permukaan Bumi besarnya 9,8 m/s2. Berikut perbandingan antara percepatan ke pusat Bumi pada orbit Bulan dan pada permukaan Bumi.
\\\frac{a_{sp}}{g}=\frac{2,72\cdot 10^{-3}\text{ m/s}^2}{9,8\text{ m/s}^2}\approx\frac{1}{3.600}\cdots\cdots\left(4\right)
Inilah percepatan Bulan menuju Bumi, yaitu kira-kira 1/3.600 kali percepatan gravitasi di permukaan Bumi. Jarak Bumi-Bulan, atau jari-jari orbit Bulan mengelilingi Bumi, yaitu 384.000 km, sedangkan jari-jari Bumi sekitar 6.380 km.
\\\frac{d_{Bumi-Bulan}}{R_{Bumi}}\approx 60\cdots\cdots\left(5\right)
Jadi, ada kemungkinan gaya tarik ke Bumi, yang sebanding dengan percepatannya ke Bumi, berbanding terbalik dengan kuadrat jaraknya dari pusat Bumi.
\\F\propto \frac{1}{R^2}\cdots\cdots\left(6\right)
Jika memang ini yang terjadi, Bulan yang jauhnya 60 kali jari-jari Bumi merasakan gaya gravitasi sebesar 1/3600 kali gaya gravitasi di permukaan Bumi. Lebih jauh lagi, setiap benda yang ditempatkan sejauh 384.000 km dari pusat Bumi akan mengalami percepatan gravitasi sebesar yang dialami Bulan, yakni 0,00272 m/s2.
Newton menyadari bahwa gaya gravitasi pada benda tidak hanya bergantung pada jaraknya dari pusat Bumi, tetapi juga pada massanya. Menurut Hukum III Gerak Benda, ketika Bumi melakukan gaya gravitasi pada benda, Bulan misalnya, benda itu juga melakukan gaya reaksi pada Bumi. Besar kedua gaya tersebut sama tetapi arahnya berlawanan.
Akhirnya, Newton mengemukakan bahwa besarnya gaya gravitasi berbanding lurus dengan massa kedua benda.
\\F\propto \frac{Mm}{R^2}\cdots\cdots\left(7\right)
Dalam hubungan di atas, M yaitu massa Bumi, m yaitu massa benda, dan R yaitu jarak antara pusat Bumi dan benda.
Newton melangkah lebih jauh dalam menganalisis gravitasi. Dalam kajiannya tentang orbit planet, ia menyimpulkan bahwa gaya yang diperlukan untuk mempertahankan planet-planet itu bergerak mengelilingi Matahari juga berkurang, berbanding terbalik dengan kuadrat jaraknya terhadap Matahari. Hal itu membuatnya semakin yakin bahwa gravitasilah yang bekerja pada Matahari dan planet-planet sehingga setiap planet tetap pada orbitnya. Jika gaya gravitasi bekerja pada benda-benda ini, mengapa tidak sekalian bekerja pada semua benda? Pemikiran inilah yang mendasari dirumuskannya Hukum Gravitasi Universal.
Setiap benda di alam semesta menarik benda lain dengan suatu gaya yang besarnya sebanding dengan hasil kali kedua massa benda dan berbanding terbalik dengan kuadrat jarak antara keduanya. Gaya ini bekerja sepanjang garis yang menghubungkan kedua benda itu.
Secara matematis, besarnya gaya gravitasi dapat ditulis sebagai berikut.
\\F_{1,2}=F_{2,1}=G\frac{m_1 m_2}{R^2}\cdots\cdots\left(8\right)
Besaran m_1 dan m_2 yaitu massa masing-masing benda, R yaitu jarak antara dua benda, dan G yaitu tetapan yang nilainya ditentukan melalui eksperimen.
Gaya gravitasi antara dua benda pertama kali diukur oleh Henry Cavendish pada tahun 1798, lebih dari seratus tahun setelah diterbitkannya hukum-hukum Newton. Dalam eksperimennya, ia menggunakan peralatan yang dibuatnya sendiri, sebagaimana yang ditunjukkan pada gambar.
Gambar 3.Instrumen dalam eksperimen Cavendish. (Henry Cavendish)
Pada peralatan Cavendish, dua bola ditempatkan pada ujung-ujung tongkat horizontal yang digantung pada pusatnya dengan seutas benang halus. Bila bola ketiga didekatkan ke salah satu benda yang digantung, gaya gravitasi menyebabkan bola yang digantung bergerak. Hal ini akan memuntir benang. Pergerakan yang kecil ini selanjutnya diperjelas menggunakan berkas cahaya, yang diarahkan ke cermin. Berkas cahaya ini kemudian memantul dan menimpa skala. Penentuan besarnya gaya yang memuntir benang selanjutnya memungkinkan penentuan besarnya gaya gravitasi antara dua benda.
Cavendish tidak hanya memperkuat temuan Newton bahwa dua buah benda saling tarik-menarik, tetapi ia juga dapat mengukur besarnya gaya tarik kedua bola, massa masing-masing bola, dan jarak pisahnya sehingga dapat diperoleh nilai tetapan gravitasi. Berikut nilai tetapan gravitasi.
\\G=6,67\cdot 10^{-11}\text{ Nm}^2 \text{kg}^{-2}\cdots\left(9\right)
Gravity In Action
Hukum Kepler dan Hukum Gravitasi Universal memungkinkan diketahuinya besaran-besaran pada anggota Tata Surya. Tinjaulah kasus berikut!
Bumi bergerak mengelilingi Matahari dalam orbit yang berbentuk hampir lingkaran. Dengan demikian, pada Bumi bekerja gaya sentripetal F_{sp}. Gaya ini berasal dari Matahari.
\sum F=F_{sp}\\ \Rightarrow F_g=F_{sp}\\ \Rightarrow G\frac{Mm}{R^2}=m\frac{v^2}{R}\cdots\cdots\left(10\right)
Sementara itu, v=2\pi R/T. Diketahui kala revolusi Bumi 3,15.107 s dan jarak Bumi-Matahari yaitu 1,5.1011 m. Dari data ini, dapat dihitung besar massa Matahari.
M_{Mat}=\left(\frac{2\pi R}{T}\right)^2=\frac{4\pi^2 R^3}{T^2 G}\\\Rightarrow M_{Mat}=\frac{4\pi^2\left(1,5\cdot 10^{11}\right)^3}{\left(3,15\cdot 10^7\right)^2 6,67\cdot 10^{-11}}\text{ kg} \\ \Rightarrow M_{Mat}=2,01\cdot 10^{30}\text{ kg} \cdots\cdots\left(11\right)
Gaya gravitasi merupakan besaran vektor sehingga penjumlahannya harus menggunakan kaidah penjumlahan vektor. Gambar menunjukkan sebuah benda yang massanya m_1 dipengaruhi oleh benda yang massanya m_2 dan m_3. Akibatnya pada benda m_1, bekerja gaya F_{1,2}, yaitu interaksi antara m_1 dan m_2, serta F_{1,3}, yaitu interaksi antara m_1 dan m_3. Berikut resultan gaya gravitasi yang bekerja pada m_1.
Gambar 4. Benda m1 dipengaruhi gravitasi m2 dan m3.
\\\vec{F_1}=\vec{F_{1,2}}+\vec{F_{1,3}}\cdots\cdots\left(12\right)
Besar resultan gayanya dihitung dengan aturan penjumlahan vektor.
\\F_1^2=F_{1,2}^2+F_{1,3}^2+2F_{1,2}F_{1,3}\cos\alpha\cdots\cdots\left(13\right)
Tinjaulah kasus ketika posisi Matahari, Bumi, dan Bulan membentuk sudut siku-siku pada Bulan! Dapat dihitung gaya gravitasi pada Bulan untuk kasus ini.
Gambar 5. Susunan ketika Bumi, Bulan, dan Matahari membentuk sudut siku-siku pada Bulan.
Diketahui massa Bulan 7,35.1022 kg, massa Bumi 5,89.1024 kg, massa Matahari 1,99.1030 kg, jarak Bumi-Bulan 3,84.108 m, dan jarak Bulan-Matahari 1,50.1011 m. Berikut gaya gravitasi Bulan-Bumi.
F_{Bulan,Bumi}=G\frac{m_{Bulan}m_{Bumi}}{R_{Bulan,Bumi}^2}\\\Rightarrow F_{Bulan,Bumi}=1,96\cdot 10^{20}\text{ N}\cdots\cdots\left(14a\right)
Berikut gaya gravitasi Bulan-Matahari.
F_{Bulan,Matahari}=G\frac{m_{Bulan}m_{Matahari}}{R_{Bulan,Bumi}^2}\\\Rightarrow F_{Bulan,Matahari}=4,34\cdot 10^{20}\text{ N}\cdots\cdots\left(14b\right)
Karena gaya gravitasi pada Bulan dari Matahari dan Bumi saling tegak lurus, berikut resultan gaya pada Bulan.
F_{Bulan}=\sqrt{F_{Bulan,Matahari}^2+F_{Bulan,Bumi}^2}\\\Rightarrow F_{Bulan}=\sqrt{\left(1,96\cdot 10^{20}\right)^2+\left(4,34\cdot 10^{20}\right)^2}\text{ N} \\\Rightarrow F_{Bulan}=4,76\cdot 10^{20}\text{ N} \cdots\cdots\left(15\right)
Berikut sudut antara gaya resultan dan F_{Bulan,Bumi}.
\theta=\tan^{-1}\left(\frac{F_{Bulan,Matahari}}{F_{Bulan,Bumi}}\right) \\ \Rightarrow \theta=\tan^{-1}\left(\frac{4,34\cdot 10^{20}}{1,96\cdot 10^{20}}\right)=65,70^\circ\cdots\cdots\left(16\right)
On The Surface
Gaya gravitasi pada benda-benda di permukaan Bumi tidak lain merupakan berat benda. Jadi, mg=G\tfrac{Mm}{R^2} sehingga g=G\tfrac{M}{R^2}.
Percepatan gravitasi Bumi ditentukan oleh massa Bumi dan jaraknya dari pusat Bumi. Jika diketahui percepatan gravitasi di permukaan Bumi 9,8 m/s2 dan jari-jari Bumi 6,38.106 m, dapat ditentukan massa Bumi.
\\M_{Bumi}=\frac{g_{Bumi}}{G}R_{Bumi}^2=5,98\cdot 10^{24}\text{ kg}\cdots\cdots\left(17\right)
Dapat pula dihitung percepatan gravitasi di permukaan planet lain.
\\g_{planet}=G\frac{M_{planet}}{R_{planet}^2}\cdots\cdots\left(18\right)
Bentuk Bumi bukan bulat sempurna, tetapi agak pepat pada kedua kutubnya. Oleh karena itu, jari-jari Bumi berbeda-beda dari satu tempat ke tempat lain. Perbedaan jari-jari Bumi mengakibatkan perbedaan nilai g di permukaan Bumi. Tempat yang jari-jarinya lebih kecil percepatan gravitasinya lebih besar dari tempat yang jari-jarinya lebih besar.
Tabel 1. Percepatan gravitasi di atas permukaan Bumi.
ketinggian
(km)percepatan gravitasi
(m/s2)1 9,80 10 9,77 1.000 7,32 2.000 5,68 3.000 4,35 4.000 3,70 5.000 3,08 6.000 2,60 7.000 2,23 8.000 1,93 9.000 1,69 10.000 1,49 50.000 0,13 ∞ 0,00
Tabel 2. Percepatan gravitasi di berbagai tempat di Bumi.
tempat lintang
(°)ketinggian
(m)percepatan gravitasi
(m/s2)Kutub Utara 90 0 9,832 Greenland 70 20 9,825 Stockholm 59 45 9,818 Brussels 51 102 9,811 Banff 51 1.376 9,808 New York 41 38 9,803 Chicago 42 182 9,803 Denver 40 1.638 9,796 San Fransisco 38 114 9,800 Canal Zone 9 6 9,782
Newton Meets Kepler
Newton dapat menunjukkan bahwa Hukum Kepler dapat diturunkan secara matematis dari Hukum Gravitasi Universal dan Hukum Gerak Benda. Dalam penurunannya, digunakan kalkulus dan transformasi koordinat. (Silakan lihat Gara-Gara Gravitasi!) Rumit memang, tapi dapat dilakukan perhitungan sederhana untuk menggambarkan hubungan antara Hukum Newton dan Hukum III Kepler.
Akan dianalisis gerak melingkar planet. Asumsi gerak melingkar planet dapat digunakan karena memang kenyataannya orbit sebagian besar planet hampir lingkaran. Diandaikan sebuah planet dengan massa m_1 bergerak mengelilingi Matahari yang massanya M_{Mat} dengan kelajuan v_1. Jika jarak antara planet dan Matahari R_1, maka berlaku hubungan berikut.
F_{gravitasi}=F_{sentripetal} \\ \Rightarrow G\frac{m_1 M_{Mat}}{R_1^2}=m_1\frac{v_1^2}{R_1} \\ \Rightarrow G\frac{M_{Mat}}{R_1}=v_1^2\cdots\cdots\left(19\right)
Jika periode planet ini adalah T_1, maka v_1=2\pi R_1/T_1 dan berlaku hubungan berikut.
G\frac{M_{Mat}}{R_1}=\frac{4\pi^2 R_1^2}{T_1^2} \\\Rightarrow \frac{T_1^2}{R_1^3}=\frac{4\pi^2}{M_{Mat}G}\cdots\cdots\left(20\right)
Untuk planet lain, berlaku hubungan yang sama.
\\\frac{T_2^2}{R_2^3}=\frac{4\pi^2}{M_{Mat}G}\cdots\cdots\left(21\right)
Jadi, \tfrac{T_1^2}{R_1^3}=\tfrac{T_2^2}{R_2^3}, serupa dengan Hukum III Kepler.
Tinjau kasus berikut! Periode Bumi mengelilingi Matahari yaitu satu tahun dan jarak Bumi-Matahari yaitu 1,5.1011 m. Jika diketahui periode revolusi planet Mars yaitu 1,87 tahun, dapat dihitung jarak rata-rata Mars-Matahari.
\frac{T_{Bumi}^2}{R_{Bumi-Mat}^3}=\frac{T_{Mars}^2}{R_{Mars-Mat}^3} \\ \Rightarrow R_{Mars-Mat}=\left(\frac{T_{Mars}^2}{T_{Bumi}^2}\right)^{1/3}R_{Bumi-Mat} \\ \Rightarrow R_{Mars-Mat}=2,28\cdot 10^{11}\text{ m}\cdots\cdots\left(22\right)
Bacaan
Foster, Bob (1999), Terpadu Fisika, Jakarta, Erlangga
Kamajaya (2004), Pintar Fisika, Jakarta, Ganesha
Kanginan, Marthen (1999), Seribu Pena Fisika, Jakarta, Erlangga
Malasan, Hakim L. (2002), Sistem Tata Surya, Bandung, ITB
R., Taufik Ramlan (2003), Ilmu Pengetahuan Bumi dan Antariksa, Bandung, FPMIPA-UPI
Ruwanto, Bambang (2004), Asas-asas Fisika, Yogyakarta, Yudhistira
S., Amsor (2003), Tata Surya, Bandung, FPMIPA-UPI
Tidak ada komentar:
Posting Komentar