Segitiga Kok Bola

Segitiga adalah bangun datar yang disusun oleh tiga garis lurus. Penjumlahan panjang dua garisnya, yang manapun itu, selalu lebih besar dari panjang garis ketiga. Sifat khas lainnya yaitu penjumlahan semua sudutnya selalu 180°. Ada kasus menarik terkait dengan segitiga.

Ambil globe dan temukan kutub utara! Tandai kutub utara sebagai titik A! Tentukan dua titik pada khatulistiwa yang selisih bujurnya 90°! Tandai keduanya sebagai B dan C! Tarik tiga garis lurus yang menghubungkan ketiganya! Bangun apakah yang terbentuk?

Gambar 1. Bangun yang dibentuk oleh garis-garis yang menghubungkan kutub utara serta dua titik pada khatulistiwa yang selisih bujurnya 90°.

Garis-garis pada bangun merupakan garis lurus. Penjumlahan panjang dua garisnya selalu lebih besar dari panjang garis ketiga. Dengan dua pertimbangan tadi, janganlah Anda ragu-ragu untuk menyatakan bahwa bangun yang terbentuk merupakan segitiga! Mari kita periksa sudut-sudutnya!

Di kutub, ada dua garis bertemu. Selisih bujur dua garis tersebut besarnya 90°. Sudut antara keduanya pasti 90°. Di titik B, ada pertemuan dua garis juga; satu garis menyusuri bujur dan satu lagi menyusuri khatulistiwa. Jadi, sudut di titik B pun pasti 90°. Jika kini Anda tercengang, saya maklum; penjumlahan dua sudut tadi sudah 180°. Saya juga maklum jika Anda mulai meragukan kelayakan bangun kita tadi disebut segitiga. Tapi mari kita lanjutkan pemeriksaannya!

Berapakah sudut di titik C? Sudutnya 90°. Jadi kini, kita punya bangun, maaf, segitiga yang jumlah semua sudutnya 270°.

Relaxed Retaliation

Penjumlahan semua sudut segitiga selalu 180° hanya jika bidangnya datar. Bangun yang tadi kita buat pada dasarnya memang segitiga, namun dibangun pada bidang lengkung, bukan datar. Jika dibangun pada permukaan bola, segitiga yang terbentuk disebut segitiga bola.

Kajian segitiga bola dibutuhkan untuk mempelajari gerakan benda langit. Semua benda langit seolah-olah terletak pada bola langit. Bola langit, seperti namanya, berbentuk bola. Jadi, segala garis atau bidang pada bola langit tidak bisa ditinjau sebagai garis atau bidang pada bidang datar.

Mari kita tinjau anatomi bola!

Gambar 2. Anatomi bangun ruang bola.

Lingkaran besar merupakan lingkaran pada permukaan bola yang pusatnya tepat di pusat bola. Jika tidak memotong pusat bola, lingkaran tersebut disebut lingkaran kecil. Konsep lingkaran besar sangat penting dalam kajian bangun bola karena busur lingkaran besar merupakan jarak terpendek antara dua titik di permukaan bola. Tiga garis yang tadi kita buat pada globe merupakan busur dari lingkaran besar. Perlu juga diketahui bahwa para matematikawan telah mendefinisikan segitiga bola sebagai segitiga yang dibentuk oleh perpotongan tiga lingkaran besar.

Hingga kini, kita telah menemukan satu keanehan segitiga bola; jumlah semua sudutnya lebih besar dari 180°. Mari kita curiga! Adakah keanehan-keanehan lain pada segitiga bola?

Let Angle Defines

Tinjau perbandingan dua busur lingkaran besar berikut!

Gambar 3. Perbandingan dua busur lingkaran besar pada khatulistiwa. Kedua busur tersebut melingkupi sudut juring yang sama karena melingkupi bentang bujur yang sama. Yang berbeda pada kedua busur yaitu panjang dan jari-jarinya.

Tinjau perbandingan lain berikut, sebagai pengembangan perbandingan sebelumnya!

Gambar 4. Perbandingan sudut pada perpotongan dua busur lingkaran besar pada dua bola. Kedua sudut pasti sama karena dibentuk oleh garis-garis bujur yang sama.

Pada segitiga, dan semua bangun datar, kita mengenal konsep sudut dan panjang sisi. Dua konsep ini bisa saja kita terapkan pada segitiga bola. Tapi ingatlah kembali sudut juring yang dilingkupi suatu busur lingkaran besar! Bukankah panjang busur tergantung jari-jari dan sudutnya? Jika hanya satu bola yang ditinjau, berarti panjang busur hanya tergantung pada sudut juringnya bukan? Mari kita nyatakan panjang busur lingkaran besar dalam satuan sudut!

Gambar 5. Sisi dan sudut pada segitiga datar dan segitiga bola.

Scrutinizing the Sphere

Mari kita analisis besaran-besaran dalam segitiga bola!

Gambar 6. Besaran-besaran dalam segitiga bola.

Dalam gambar di atas, A, B, dan C yaitu sudut-sudut pada segitiga bola, x, y, dan z yaitu sisi-sisi segitiga bola, \hat{A}, \hat{B}, dan \hat{C} yaitu vektor-vektor unit dari pusat bola yang mengarah ke A, B, dan C, sedangkan \hat{t}_{m,N} yaitu vektor unit sepanjang m, berpangkal di N, dan tegak lurus \hat{N}.

\hat{A} \cdot \hat{B} = \left| \hat{A} \right| \left| \hat{B} \right| \cos z \\ \Rightarrow \hat{A} \cdot \hat{B} = \cos z \cdots \cdots \left( 1a \right)

\hat{B} \cdot \hat{C} = \left| \hat{B} \right| \left| \hat{C} \right| \cos x \\ \Rightarrow \hat{B} \cdot \hat{C} = \cos x \cdots \cdots \left( 1b \right)

\hat{A} \cdot \hat{C} = \left| \hat{A} \right| \left| \hat{C} \right| \cos y \\ \Rightarrow \hat{A} \cdot \hat{C} = \cos y \cdots \cdots \left( 1c \right)

Telah didefinisikan bahwa \hat{t}_{m,N} selalu tegak lurus \hat{N}. Berlakulah hubungan berikut.

\\ \hat{t}_{z,A} \parallel \hat{B} - \hat{A}\cos z \cdots\cdots \left( 2a \right) \\ \hat{t}_{y,A} \parallel \hat{C} - \hat{A}\cos y \cdots\cdots \left( 2b \right) \\ \hat{t}_{y,C} \parallel \hat{A} - \hat{C}\cos y \cdots\cdots \left( 2c \right) \\ \hat{t}_{x,C} \parallel \hat{B} - \hat{C}\cos x \cdots\cdots \left( 2d \right) \\ \hat{t}_{x,B} \parallel \hat{C} - \hat{B}\cos x \cdots\cdots \left( 2e \right) \\ \hat{t}_{z,B} \parallel \hat{A} - \hat{B}\cos z \cdots\cdots \left( 2f \right)

Vektor unit yaitu vektor yang besarnya satu. Supaya \hat{t}_{m,N} besarnya satu, ruas kanan pada (2) harus dibagi dengan nilai mutlak ruas kanan itu sendiri. Dengan demikian, dapat diturunkan hubungan-hubungan berikut.

\\ \hat{t}_{z,A} = \frac{\hat{B} - \hat{A}\cos z}{\left| \hat{B} - \hat{A}\cos z \right|} \cdots\cdots \left( 3a \right) \\ \hat{t}_{y,A} = \frac{\hat{C} - \hat{A}\cos y}{\left| \hat{C} - \hat{A}\cos y \right|} \cdots\cdots \left( 3b \right) \\ \hat{t}_{y,C} = \frac{\hat{A} - \hat{C}\cos y}{\left| \hat{A} - \hat{C}\cos y \right|} \cdots\cdots \left( 3c \right) \\ \hat{t}_{x,C} = \frac{\hat{B} - \hat{C}\cos x}{\left| \hat{B} - \hat{C}\cos x \right|} \cdots\cdots \left( 3d \right) \\ \hat{t}_{x,B} = \frac{\hat{C} - \hat{B}\cos x}{\left| \hat{C} - \hat{B}\cos x \right|} \cdots\cdots \left( 3e \right) \\ \hat{t}_{z,B} = \frac{\hat{A} - \hat{B}\cos z}{\left| \hat{A} - \hat{B}\cos z \right|} \cdots\cdots \left( 3f \right)

Vektor unit \hat{A}, \hat{B}, dan \hat{C} besarnya satu. Berlaku pulalah hubungan berikut.

\\ \sin z = \left| \hat{B} - \hat{A}\cos z \right| \cdots\cdots \left( 4a \right) \\ \sin y = \left| \hat{C} - \hat{A}\cos y \right| \cdots\cdots \left( 4b \right) \\ \sin y = \left| \hat{A} - \hat{C}\cos y \right| \cdots\cdots \left( 4c \right) \\ \sin x = \left| \hat{B} - \hat{C}\cos x \right| \cdots\cdots \left( 4d \right) \\ \sin x = \left| \hat{C} - \hat{B}\cos x \right| \cdots\cdots \left( 4e \right) \\ \sin z = \left| \hat{A} - \hat{B}\cos z \right| \cdots\cdots \left( 4f \right)

Menggunakan (4), hubungan (3) dapat disederhanakan.

\\ \hat{t}_{z,A} = \frac{\hat{B} - \hat{A}\cos z}{\sin z} \cdots\cdots \left( 5a \right) \\ \hat{t}_{y,A} = \frac{\hat{C} - \hat{A}\cos y}{\sin y} \cdots\cdots \left( 5b \right) \\ \hat{t}_{y,C} = \frac{\hat{A} - \hat{C}\cos y}{\sin y} \cdots\cdots \left( 5c \right) \\ \hat{t}_{x,C} = \frac{\hat{B} - \hat{C}\cos x}{\sin x} \cdots\cdots \left( 5d \right) \\ \hat{t}_{x,B} = \frac{\hat{C} - \hat{B}\cos x}{\sin x} \cdots\cdots \left( 5e \right) \\ \hat{t}_{z,B} = \frac{\hat{A} - \hat{B}\cos z}{\sin z} \cdots\cdots \left( 5f \right)

Vektor unit \hat{t}_{m,N} berpangkal di N. Jadi, perkalian titik dua \hat{t_{m,N}} yang pangkalnya sama merupakan kosinus pangkal tersebut.

\cos A = \hat{t}_{z,A} \cdot \hat{t}_{y,A} \\ \Rightarrow\cos A = \frac{\hat{B} - \hat{A} \cos z}{sin z} \cdot \frac{\hat{C} - \hat{A} \cos y}{\sin y} \\ \Rightarrow \cos A = \frac{\cos x - \cos y\cos z}{\sin y\sin z} \cdots\cdots \left( 6a \right)

\cos B = \hat{t}_{z,B} \cdot \hat{t}_{x,B} \\ \Rightarrow\cos B = \frac{\hat{A} - \hat{B}\cos z}{\sin z} \cdot \frac{\hat{C} - \hat{B}\cos x}{\sin x} \\ \Rightarrow \cos B = \frac{\cos y - \cos x\cos z}{\sin x\sin z} \cdots\cdots \left( 6b \right)

\cos C = \hat{t}_{x,C} \cdot \hat{t}_{y,C} \\ \Rightarrow\cos C = \frac{\hat{B} - \hat{C}\cos x}{\sin x} \cdot \frac{\hat{A} - \hat{C}\cos y}{\sin y} \\ \Rightarrow \cos C = \frac{\cos z - \cos x\cos y}{\sin x\sin y} \cdots\cdots \left( 6c \right)

Dari (6), dapat disimpulkan jika diketahui nilai tiga sisi/sudut, dapat dihitung nilai sisi/sudut keempat, dan seterusnya hingga keenam.

Apt Application

Koordinat Bandung yaitu 6°54'53"LS dan 107°36'35"BT.^[1] Sementara itu, koordinat Mekah, kota tempat Ka'bah berada, 21°25'LU dan 39°49'BT.^[2] Dari data koordinat dua posisi ini, bisa ditentukan arah kiblat dari Bandung.

Berikut ilustrasi segitiga bola yang dibentuk oleh kutub utara, Bandung, dan Mekah.

Gambar 7. Ilustrasi kasus arah kiblat dari Bandung.

Berikut nilai besaran-besaran dalam segitiga bola tersebut.

\\ B = 90^\circ - 21^\circ 25' = 68^\circ 35' \cdots\cdots \left( 7a \right) \\ C = 90^\circ + 6^\circ5 4'53'' = 96^\circ 54'53'' \cdots\cdots \left( 7b \right) \\ \text{Kutub} = 107^\circ 36'35'' - 39^\circ 49' = 67^\circ 47'35'' \cdots\cdots \left( 7c \right)

Dari (6), bisa diketahui nilai \cos A.

\cos \text{Kutub} = \frac{\cos A - \cos B\cos C}{\sin B\sin C} \\ \Rightarrow \cos A = \cos B \cos C + \cos \text{Kutub} \sin B \sin C \\ \Rightarrow \cos A = 0,3053 \cdots\cdots \left( 8 \right)

Dengan demikian, bisa diketahui arah kiblat dari Bandung.

\cos \text{Bandung} = \frac{\cos B - \cos A\cos C}{\sin A\sin C} \\ \Rightarrow \cos \text{Bandung} = \frac{\cos B - \cos A\cos C}{\sin C \sqrt{1 - \cos^2 A}} \\ \Rightarrow \cos \text{Bandung} = 0,4252 \\ \Rightarrow \text{Bandung} = 64,8395^\circ \cdots\cdots \left( 9 \right)

Jadi dari Bandung, arah kiblat yaitu sekitar 65° dari utara ke barat, atau sekitar 25° dari barat ke utara, atau azimut 295°. (Penjelasan tentang azimut dapat dibaca di Alamat Bintang.)

Rujukan

^[1] http://en.wikipedia.org/wiki/Bandung
^[2] http://en.wikipedia.org/wiki/Mecca

Koreksi Alamat Bintang

Dalam Alamat Bintang, dipaparkan cara mengukur ketinggian dan azimut benda langit. Untuk kasus Matahari, pengukuran bisa dilakukan dengan sebuah tiang dan landasan berskala. Pengukuran dengan cara ini cukup akurat, namun sebenarnya akurasinya layak dipertanyakan. What is the meaning of the maksud?

Falsifying Fact

Pengukuran ketinggian menggunakan tiang dalam Alamat Bintang memanfaatkan asumsi bahwa sinar Matahari tiba di permukaan Bumi sebagai berkas sejajar.

Gambar 1. Asumsi yang sering digunakan dalam pengamatan Matahari di permukaan Bumi; sinar Matahari tiba di permukaan Bumi sebagai berkas sejajar. (foto Bumi oleh Harrison Schmitt dan Ron Evans)^[1]

Benarkah asumsi tadi? Tidak!

Sinar Matahari memang tiba di permukaan Bumi sebagai berkas hampir sejajar, tapi tidak tepat sejajar. Sumber sinar Matahari, yakni massa Matahari, yang panas karena adanya reaksi nuklir di intinya, berbentuk bundar. Massa ini memancarkan sinar ke segala arah. Dengan demikian, berkas sinar Matahari tidak sejajar karena dipancarkan secara menyebar ke segala arah dari satu sumber.

Dampaknya yaitu sudut ketinggian Matahari dari dasar tiang tidak sama dengan sudut ketinggian dari puncak tiang.

Gambar 2. Ilustrasi kondisi terkait pengukuran sudut ketinggian Matahari menggunakan tiang. (foto Bumi oleh Harrison Schmitt dan Ron Evans)

Secara umum, inilah kondisi yang terjadi dalam pengukuran sudut ketinggian Matahari dari daerah mana pun selain di pusat massa Bumi.

Gambar 3. Pengukuran sudut ketinggian Matahari dari permukaan laut dan dari puncak gunung. Hasil keduanya berbeda.

Stay Cool, Stay Calm, Stay Confident

Tenangkan diri kita, tarik napas dalam-dalam, hembuskan pelan-pelan, lalu mari kita periksa seberapa gawat situasinya!

Gambar 4. Beberapa parameter dalam pengukuran sudut ketinggian Matahari. (foto Bumi oleh Harrison Schmitt dan Ron Evans)

Sudut \alpha yaitu sudut ketinggian yang didapat dari invers tangen tinggi tiang dan bayangannya, \beta yaitu sudut ketinggian dari dasar tiang, h yaitu tinggi tiang, R yaitu jarak antara dasar tiang dan Matahari, r yaitu jarak antara puncak tiang dan Matahari, D yaitu jarak antara pusat Bumi dan Matahari, dan R_{Bumi} yaitu jari-jari Bumi.

Diasumsikan nilai R_{Bumi} 6.371,0 km dan D 150.000.000 km.^[2] Akan dianalisis kondisi-kondisi tertentu yang melibatkan nilai minimum atau maksimum \beta dan \alpha.

First Extreme

Berikut kondisi ketika R dan r minimum. Pada kondisi ini setinggi apapun tiangnya, \beta dan \alpha sama-sama bernilai 90°.

Gambar 5. Orientasi tiang terhadap Matahari ketika sudut ketinggian Matahari 90°. Susunan ini terjadi saat tengah hari. (foto Bumi oleh Harrison Schmitt dan Ron Evans)

Second Extreme

Berikut kondisi ketika ketinggian Matahari 0°, diukur dari puncak tiang, atau ketika \alpha bernilai 0°.

Gambar 6. Orientasi tiang terhadap Matahari ketika sudut ketinggian Matahari 0°, diukur dari puncak tiang. Susunan ini terjadi sesudah Matahari terbit atau sebelum Matahari terbenam. (foto Bumi oleh Harrison Schmitt dan Ron Evans)

Berikut nilai R.

R = \sqrt{r^2 + h^2} \\ = \sqrt{D^2 - \left(R_{Bumi} + h\right)^2 + h^2} \\ = \sqrt{D^2 - R_{Bumi}^2 - 2R_{Bumi}h}  \cdots\cdots \left(1\right)

Kondisi berikut harus dipenuhi supaya \beta tidak lebih besar dari 0,01°.

\beta \le 0,01^\circ \\ \Rightarrow\sin\beta\le\sin0,01^\circ \\ \Rightarrow \frac{h}{\sqrt{D^2 - R_{Bumi}^2 - 2R_{Bumi}h}} \le \sin0,01^\circ \\ \Rightarrow \frac{h^2}{D^2 - R_{Bumi}^2 - 2R_{Bumi}h} \le \sin^20,01^\circ \\ \Rightarrow Ah^2 + Bh + C \le 0 \cdots\cdots\left(2 \right)

\\ A = 1\cdots\cdots\left(3a\right) \\ B = 2R_{Bumi}\sin^20,01^\circ \cdots\cdots\left(3b\right) \\ C = -\left( D^2-R^2_{Bumi} \right)\sin^20,01^\circ \cdots\cdots\left(3c\right)

Berikut nilai-nilai batas untuk pertidaksamaan (2).

h = \frac{-B \pm \sqrt{B^2 - 4AC}}{2A} \\ \Rightarrow h_1 = 26.180 \text{ km}\cdots\cdots\left(4a\right) \\ \Rightarrow h_2 = -26.180 \text{ km}\cdots\cdots\left(4b\right)

Jadi ketika \alpha bernilai 0°, \beta bernilai tidak akan lebih dari 0,01° selama tinggi tiang tidak lebih dari sekitar 26 ribu kilometer. (Macam apa pula tiang yang panjangnya 26 ribu kilometer?)

Third Extreme

Berikut kondisi ketika ketinggian Matahari 0°, diukur dari dasar tiang, atau ketika \beta bernilai 0°.

Gambar 7. Orientasi tiang terhadap Matahari ketika sudut ketinggian Matahari 0°, diukur dari dasar tiang. Susunan ini terjadi saat Matahari terbit atau terbenam. (foto Bumi oleh Harrison Schmitt dan Ron Evans)

Berikut nilai r.

r = \sqrt{R^2 + h^2} \\ = \sqrt{D^2-R^2_{Bumi} + h^2} \cdots\cdots \left(5\right)

Kondisi berikut harus dipenuhi supaya \alpha tidak lebih besar dari 0,01°.

\alpha \le 0,01^\circ \\ \Rightarrow\sin\alpha\le\sin0,01^\circ \\ \Rightarrow \frac{h}{\sqrt{D^2 - R^2_{Bumi} + h^2}} \le \sin0,01^\circ \\ \Rightarrow \frac{h^2}{D^2 - R^2_{Bumi} + h^2} \le \sin^20,01^\circ \\ \Rightarrow X^2h^2 - Y^2 \le 0\cdots\cdots\left(6\right)

\\ X^2 = 1 - \sin^2 0,01^\circ\cdots\cdots\left(7a\right) \\  Y^2 = \left(D^2-R_{Bumi}^2\right)\sin^2 0,01^\circ\cdots\cdots\left(7b\right)

Berikut nilai-nilai batas untuk pertidaksamaan (6).

h = \pm Y/X \\ \Rightarrow h_1 =26.180 \text{ km}\cdots\cdots\left(8a\right) \\ \Rightarrow h_2 = -26.180 \text{ km}\cdots\cdots\left(8b\right)

Jadi lagi-lagi ketika \beta bernilai 0°, \alpha bernilai tidak akan lebih dari 0,01° selama tinggi tiang tidak lebih dari sekitar 26 ribu kilometer. (Tiang apa pula ini?)

Call of Challenge

Alhamdu lillah, pengukuran ketinggian Matahari menggunakan tiang yang panjangnya "lumrah" cukup akurat. Pokoknya selama tinggi tiang tidak lebih dari 26 juta kilometer, selisih \beta dan \alpha tidak akan lebih dari 0,01°.

Hanya tiga kondisi tadi yang perlu dipertimbangkan karena 1) pengukuran ketinggian Matahari tidak dapat dilakukan jika Matahari di bawah cakrawala dan 2) nilai maksimum atau minimum \beta dan \alpha terjadi pada tiga kondisi tadi.

Analisis dalam tulisan ini didasarkan pada asumsi bahwa jari-jari Bumi 6.371,0 km dan bahwa jarak Bumi-Matahari 150.000.000 km. Kenyataannya, jari-jari kutub Bumi 6.356,8 km, jari-jari khatulistiwa Bumi 6.378,1 km, jarak terdekat Bumi-Matahari 147.098.290 km, dan jarak terjauh Bumi-Matahari 152.098.232 km.

Perhitungkan semua besaran tadi dalam analisis selisih \beta dan \alpha!

Rujukan

^[1]http://en.wikipedia.org/wiki/File:The_Earth_seen_from_Apollo_17.jpg
^[2]Dr. David R. Williams, Earth Fact Sheet (NSSDC, penyuntingan terakhir 20 Mei 2009, http://nssdc.gsfc.nasa.gov/planetary/factsheet/earthfact.html)

Alamat Bintang

Anda pernah diminta menunjukkan lokasi suatu tempat? Bagaimana Anda mengusahakan supaya peminta petunjuk paham maksud Anda? Biasanya dalam kasus ini, digunakan rujukan-rujukan seperti urutan persimpangan, urutan bangunan, atau warna bangunan.

Gambar 1. Anda sedang berada di pos satpam gerbang selatan ITB. Seseorang datang pada Anda dan menanyakan lokasi gedung program studi astronomi. Bagaimana cara Anda memberi petunjuk pada penanya tadi? (Wikimapia)^[1]

Anda tentara atau pilot? Pernah hendak memberitahukan arah lokasi musuh pada rekan? Bagaimana Anda mengusahakan agar rekan Anda segera tahu arah posisi musuh? Biasanya dalam kasus ini, arah dinyatakan sebagai jam. Kita mungkin melaporkan, "Musuh, jam 11!" Bisa saja rekan kita tidak segera dapat melihat wujud musuh, namun dia hanya perlu mencari daerah di depan, agak ke kiri. (Jam 12 berarti depan, jam tiga berarti kanan, jam enam berarti belakang, dan jam sembilan berarti kiri.)

Gambar 2. Bagaimana cara Anda memperingatkan rekan tentang arah lokasi musuh? (Tom Clancy's Ghost Recon Advanced Warfighter 2)

Anda suka mengamati benda langit? Tentu mudah untuk menunjukkan posisi Matahari atau Bulan pada teman. Coba amati bintang atau planet! Ajaklah teman yang belum berpengalaman mengenali benda langit untuk melihat bintang atau planet! Bagaimana cara Anda memberitahukan posisi benda langit pada teman Anda?

Gambar 3. Simulasi langit malam Bandung, 6°49'32" LS dan 107°36'58" BT, tanggal 16 Juli 2010 pukul 05:06:12. Temukan bintang γ Ori, bintang terang di tengah, agak ke atas! Simulasi dibuat menggunakan perangkat lunak Stellarium. -- Klik pada gambar untuk memperbesar!

Gambar 4. Masih pada simulasi langit malam Bandung, 6°49'32" LS dan 107°36'58" BT, tanggal 16 Juli 2010 pukul 05:06:12, temukan bintang γ Ori, yang ketinggiannya 20° dan azimutnya 81°! Simulasi dibuat menggunakan perangkat lunak Stellarium. -- Klik pada gambar untuk memperbesar!

Bukan masalah serius jika yang kesulitan mencari bintang teman kita. Tapi bayangkan apa jadinya jika kita hendak melaporkan posisi benda langit pada dosen, rekan penelitian, atau badan astronomi! Tentu kita butuh suatu cara baku untuk menyatakan posisi benda langit. Karena inilah sistem koordinat benda langit dikembangkan.

Gambar 5. Bintang γ Ori pada simulasi langit malam Bandung, 6°49'32" LS dan 107°36'58" BT, tanggal 16 Juli 2010 pukul 05:06:12. Simulasi dibuat menggunakan perangkat lunak Stellarium. -- Klik pada gambar untuk memperbesar!

Vertical against Horizontal

Sistem koordinat benda langit paling sederhana dinamai sistem koordinat alt-azimut.

Di setiap titik pada permukaan Bumi, langit tampak sebagai bola raksasa. Sudut yang dibentuk oleh benda langit, pengamat, dan proyeksi benda langit pada cakrawala disebut sudut ketinggian.

Gambar 6. Ilustrasi sudut ketinggian.

Ada banyak kemungkinan posisi yang sudut ketinggiannya sama. Bisa saja suatu objek yang sudut ketinggiannya tertentu ada di timur, barat, tenggara, atau selatan, bukan? Dengan demikian, sudut ketinggian saja tidak cukup untuk menyatakan posisi suatu benda langit.

Gambar 7. Dua objek yang sudut ketinggiannya sama belum tentu posisinya sama juga.

Ada satu sudut lagi yang bisa dibuat. Sudut yang dibentuk oleh utara, pengamat, dan proyeksi benda pada cakrawala disebut sudut azimut.

Gambar 8. Ilustrasi sudut azimut.

Sudut azimut dapat diukur dari utara ke timur atau dari utara ke barat. Jika keterangan arah pengukuran azimut ini tidak disebutkan, akan ada dua kemungkinan posisi objek yang dimaksud.

Gambar 9. Jika azimut didefinisikan hanya sebagai sudut yang dibentuk oleh utara, pengamat, dan proyeksi benda pada cakrawala, maka ada dua kemungkinan posisi proyeksi benda di cakrawala.

Tidak ada kendala teknis untuk arah manapun yang dipilih. Semata-mata supaya seragam, disepakati bahwa arah yang digunakan selalu utara ke timur.

Gambar 10. Ilustrasi rujukan arah pengukuran sudut azimut.

Angling the Angles

Pengukuran sudut ketinggian dapat diakukan menggunakan klinometer. Klinometer sederhana bisa dibuat dari busur derajat, tali, dan pemberat.

Gambar 11. Ilustrasi klinometer sederhana.

Sekrup logam digunakan sebagai pemberat sehingga tali akan selalu terentang dan mengarah ke bawah. Objek yang diamati dibidik dengan bagian datar busur derajat. (Akan lebih mudah dalam membidik jika dipasangkan pipa kecil pada bagian datar busur derajat.)

Gambar 12. Pengamatan sudut ketinggian objek dengan klinometer.

Busur derajat pasti akan miring jika diarahkan ke objek di atas cakrawala. Besar kemiringan ini dapat dibaca pada skala, berupa selisih antara sudut 90° dan sudut yang ditimpa oleh tali.

Gambar 13. Jika digunakan busur derajat sebagai komponen klinometer, biasanya perlu dilakukan penyesuaian. Sebabnya yaitu yang ditimpa benang bukan sudut ketinggian, melainkan 90° dikurangi/ditambah sudut ketinggian.

Untuk mengukur sudut azimut, dapat digunakan kompas. Proyeksikan objek pengamatan ke cakrawala! Arahkan kompas ke proyeksi objek! Nilai sudut azimut dapat dibaca langsung pada kompas.

Gambar 14. Pengukuran sudut azimut suatu objek dengan kompas.

Jika objek pengamatannya Matahari, ada cara yang aman dan lebih mudah dalam mencatat ketinggian dan azimut. Cara ini memanfaatkan terangnya Matahari dan bayangan benda.

Secara umum di permukaan Bumi, bayangan benda selalu berada di belakang benda, dengan Matahari di depan benda. Matahari, benda, dan bayangannya membentuk garis lurus. Dengan adanya hubungan ini, ketinggian dan azimut Matahari dapat ditentukan dengan hanya sebuah tiang tegak.

Gambar 15. Tiang untuk mengukur ketinggian dan azimut Matahari. Pada gambar, azimut Matahari 135°.

Tiang harus benar-benar tegak. Selain itu di dasar tiang, dipasang skala azimut; azimut 0° harus benar-benar mengarah ke selatan. Jika kedua kondisi ini dipenuhi, maka bayangan tiang akan menimpa nilai azimut Matahari. Dengan asumsi bahwa sinar Matahari tiba di permukaan Bumi sebagai berkas sejajar, perbandingan panjang tiang terhadap panjang bayangan merupakan invers tangen sudut ketinggian.

Gambar 16. Azimut 0° pada skala diarahkan ke selatan.

Azimut 0° pada skala harus mengarah ke selatan, bukan ke utara, karena bayangan tiang selalu menjauhi tiang dan Matahari. Jika azimut 0° pada skala mengarah ke utara, bayangan tiang akan menimpa nilai azimut ditambah 180°.

Tentu ketinggian dan azimut benda langit berubah seiring berubahnya waktu. Karena itu, rekaman ketinggian dan azimut harus disertai rekaman waktu setiap pengukuran.

Cautious Consideration

Hati-hati! Ada sebuah kondisi yang harus dipertimbangkan jika hendak menggunakan kompas untuk menentukan azimut.

Cara kerja kompas memanfaatkan magnet. Jarum magnet kompas akan selalu mengarah ke kutub utara dan kutub selatan magnet. Kalau begitu, tidak ada masalah, bukan? Tidak! Justru itulah masalahnya.

Gerak semu harian benda-benda langit terjadi karena rotasi Bumi. Kutub utara dan selatan langit berhimpit dengan sumbu rotasi Bumi. Sementara itu, sebab keberadaan medan magnet Bumi bukan rotasi, melainkan gerakan logam cair di inti Bumi. Tentu saja inti Bumi ikut berotasi bersama keseluruhan Bumi, namun laju dan variasinya tidak sama dan lebih bervariasi. Akibatnya yaitu tidak selalu samanya kutub utara magnet dengan kutub utara geografi.

Gambar 17. Posisi kutub utara magnet sejak 1931 dan kutub utara geografi. Proyeksi kutub utara geografi pada bola langit merupakan kutub utara langit. Kutub utara langit merupakan salah satu ujung sumbu edar gerak semu harian benda langit. (Off the Beaten Path Maps)^[2]

Conclusive Correction

Yang ditunjukkan pada kompas yaitu utara magnet, bukan utara geografi. Selisih sudut antara arah utara magnet dan utara geografi disebut deklinasi magnetik. Deklinasi magnetik bernilai positif jika arah utara magnet di timur utara geografi; nilainya negatif jika utara magnet di barat utara geografi.

Gambar 18. Deklinasi magnetik bernilai positif jika arah utara magnet di timur utara geografi.

Nilai deklinasi magnetik bervariasi untuk tiap tempat dan waktu. Idealnya, dilakukan pengukuran deklinasi magnetik setiap saat. Namun karena aktivitas semacam ini pasti butuh biaya dan perubahan deklinasi magnetik berlangsung lambat, dapat digunakan peta deklinasi magnetik. Prediksi deklinasi magnetik yang tertera pada peta jenis ini akurat untuk lebih dari lima tahun.

Gambar 19. Peta deklinasi magnetik, akurat untuk setidaknya lima tahun. Garis-Garis pada peta menghubungkan daerah-daerah dengan deklinasi magnetik sama. (National Imaging and Mapping Agency)^[3] -- Klik pada gambar untuk memperbesar!

Jadi jika ternyata deklinasi magnetik di tempat pengamatan tidak nol, maka pengukuran azimut akan keliru sebesar deklinasi magnetik. Supaya bacaannya akurat, kompas harus disetel agar bacaan sudutnya benar-benar menunjukkan azimut akibat rotasi Bumi. Perkiraan deklinasi magnetik lokasi pengamatan dapat diketahui dari program pada situs National Oceanic and Atmosphere Administration (NOAA).

Gambar 20. Untuk mengetahui perkiraan deklinasi magnetik dari NOAA, dibutuhkan informasi koordinat lokasi pengamatan, yang bisa diperoleh dari, misalnya, Wikimapia.

Untuk menyingkirkan faktor deklinasi magnetik dari pengukuran azimut menggunakan tiang, jangan gunakan kompas untuk menentukan arah utara geografi! Gunakan bayangan tiang saja!

Gambar 21. Simulasi bayangan benda pada 25 Juli 2010. Lingkaran digunakan sebagai penanda jarak dari dasar tiang. Jari-jarinya boleh berapapun, tapi sebaiknya lebih kecil dari panjang tiang supaya jam pemeriksaan bayangan tidak terlalu lama sebelum atau sesudah Matahari pada posisi tertingginya. Panjang dan posisi bayangan didasarkan pada model posisi Matahari dari perangkat lunak Stellarium.

Buatlah lingkaran yang berpusat di dasar tiang! Periksa sebelum Matahari di posisi tertingginya dan tandai di mana ujung bayangan tiang tepat menyentuh lingkaran! Periksa juga sesudah Matahari pada posisi tertingginya dan tandai di mana ujung bayangan tiang tepat menyentuh lingkaran! Hubungkan dua tanda ini! Dua ujung garis hubung ini merupakan azimut 90° dan 270°. Selanjutnya, taruhlah tiang dan papan skala azimut di tengah garis hubung! Bayangan tiang benar-benar akan menimpa nilai sudut azimut, tanpa perlu dilakukan koreksi deklinasi magnetik.

Gambar 22. Simulasi bayangan benda pada 25 Juli 2010 dan arah timur dan barat geografi, atau azimut 90° dan 270°, yang ditentukan melalui pengukuran panjang bayangan tiang. Penentuan timur-barat lokal geografi dengan cara ini gagal hanya di kutub. (Di kutub memang tidak ada timur-barat.) Panjang dan posisi bayangan didasarkan pada model posisi Matahari dari perangkat lunak Stellarium.

Bayangan paling pendek terjadi saat Matahari berada di titik tertinggi. Sudut ketinggian yang sama tentu menghasilkan bayangan dengan panjang sama. Padahal, sudut ketinggian yang sama menunjukkan posisi yang simetris terhadap garis hubung utara-selatan geografi. Timur-barat lokal geografi pasti simetris juga terhadap garis hubung utara-selatan. Jadi, garis hubung ujung dua bayangan yang panjangnya sama dari suatu benda pasti sejajar dengan timur-barat lokal geografi.

Rujukan dan Sumber Bahan

^[1]http://wikimapia.org/#lat=-6.8900965&lon=107.6102579&z=18&l=0&m=b
^[2]http://www.otbpmaps.com/page.php?p=47
^[3]http://en.wikipedia.org/wiki/File:Mv-world.jpg