Jatuhnya Sang Gelas

Sebuah gelas, yang lebar alasnya b, diisi air setinggi a. (Lihat gambar 1!) Gelas tersebut dimiringkan sebesar \theta. Tentukan sudut kemiringan maksimum supaya gelas tidak terguling!

anggapan:
1) gelas berbentuk balok sehingga cukup hanya penampang samping yang diperhitungkan
2) air tidak tumpah hingga sesaat sebelum gelas terguling
3) massa gelas bernilai nol

Gambar 1. Ilustrasi gelas sebelum dimiringkan.

Modelling the Case

Berikut gambar sesaat sebelum gelas terguling; penampang samping air berbentuk trapesium dan pusat massanya tepat di atas titik tumpu gelas. (Lihat gambar 2!)

Gambar 2. Ilustrasi gelas ketika dimiringkan sesaat sebelum terguling.

Scrutinizing the Model

Perlu dicari dulu pusat massa trapesium. Untuk memudahkan perhitungan, sumbu koordinat diputar sedemikian rupa supaya tinggi dan sisi-sisi sejajar trapesium sejajar dengan sumbu koordinat. (Lihat gambar 3!)

Gambar 3. Untuk memudahkan perhitungan, trapesium penampang samping air ditegakkan.

Volume air sebelum dimiringkan sama dengan volumenya sesudah dimiringkan sehingga luas penampang samping air tetap.

ab=\tfrac{1}{2}b\left(b\tan\theta+2c\right) \\ \Rightarrow c=a-\tfrac{b}{2}\tan\theta\cdots\cdots\left(1\right)

Bangun trapesium akan dipecah menjadi persegi panjang dan segitiga siku-siku.

The Center of a Rectangle

pusat massa: \left(x_A,y_A\right) (Lihat gambar 4!)

Gambar 4. Persegi panjang A, bagian bawah trapesium.

x_A=\tfrac{b}{2},y_A=\tfrac{c}{2}=\tfrac{a}{2}-\tfrac{b}{4}\tan\theta\cdots\cdots\left(2\right)

pusat massa: \left(x_A,y_A\right)=\left(\tfrac{b}{2},\tfrac{a}{2}-\tfrac{b}{4}\tan\theta\right)

The Center of a Triangle

pusat massa: \left(x_B,y_B\right) (Lihat gambar 5!)

Gambar 5. Segitiga B, bagian atas trapesium.

p:y_p=-\tfrac{x}{2}\tan\theta+\tfrac{b}{2}\tan\theta=\tfrac{1}{2}\tan\theta\left(b-x\right)\cdots\cdots\left(3a\right)

q:y_q=-2x\tan\theta+b\tan\theta=\tan\theta\left(b-2x\right)\cdots\cdots\left(3b\right)

Titik \left(x_B,y_B\right) merupakan perpotongan antara garis berat p dan q.

y_p=y_q \\ \Rightarrow \tfrac{1}{2}\tan\theta\left(b-x_B\right)=\tan\theta\left(b-2x_B\right) \\ \Rightarrow x_B=\tfrac{b}{3}\cdots\cdots\left(4a\right)

y_B=\tfrac{1}{2}\tan\theta\left(b-x_B\right) \\ \Rightarrow y_B=\tfrac{b}{3}\tan\theta\cdots\cdots\left(4b\right)

pusat massa: \left(x_B,y_B\right)=\left(\tfrac{b}{3},\tfrac{a}{3}\tan\theta\right)

The Center of a Trapezium

pusat massa: \left(x_{trapes},y_{trapes}\right)

\left(\begin{array}{c} x_{trapes} \\ y_{trapes} \end{array}\right)=\frac{1}{L_A+L_B}\left(\begin{array}{c} x_A L_A + x_B L_B \\ y_A L_A + \left(y_B+c\right) L_B \end{array}\right) \\ \Rightarrow\left(\begin{array}{c} x_{trapes} \\ y_{trapes} \end{array}\right)=\frac{1}{L_A+L_B}\left(\begin{array}{cc} x_A & x_B \\ y_A & y_B \end{array}\right)\left(\begin{array}{c} L_A \\ L_B \end{array}\right)\cdots\cdots\left(5\right)

Harus diingat bahwa 1) segitiga B terletak di atas persegi panjang A jadi ordinat titik beratnya harus ditambah c dan 2) luas penampang samping air tetap sehingga \left(L_A+L_B\right)=ab, tidak perlu menggunakan rumus luas trapesium.

\left(\begin{array}{c} x_{trapes} \\ y_{trapes} \end{array}\right) \\ =\frac{1}{ab}\left(\begin{array}{cc} \tfrac{b}{2} & \tfrac{b}{3} \\ \tfrac{a}{2}-\tfrac{b}{4}\tan\theta & \tfrac{b}{3}\tan\theta+\left(a-\tfrac{b}{2}\tan\theta\right) \end{array}\right)\left(\begin{array}{c} b\left(a-\tfrac{b}{2}\tan\theta\right) \\ \tfrac{1}{2}b^2\tan\theta \end{array}\right) \\ =\frac{1}{ab}\left(\begin{array}{cc} \tfrac{b}{2} & \tfrac{b}{3} \\ \tfrac{a}{2}-\tfrac{b}{4}\tan\theta & a-\tfrac{b}{6}\tan\theta \end{array}\right)\left(\begin{array}{c} ab-\tfrac{b^2}{2}\tan\theta \\ \tfrac{1}{2}b^2\tan\theta \end{array}\right) \\ =\left(\begin{array}{cc} \tfrac{b}{2a} & \tfrac{b}{3a} \\ \tfrac{1}{2}-\tfrac{b}{4a}\tan\theta & 1-\tfrac{b}{6a}\tan\theta \end{array}\right)\left(\begin{array}{c} a-\tfrac{b}{2}\tan\theta \\ \tfrac{1}{2}b\tan\theta \end{array}\right)

\\=\left(\begin{array}{c} \tfrac{b}{2a}\left(a-\tfrac{b}{2}\tan\theta\right)+\tfrac{b}{3a}\left(\tfrac{1}{2}b\tan\theta\right) \\ \left(\tfrac{1}{2}-\tfrac{b}{4a}\tan\theta\right)\left(a-\tfrac{b}{2}\tan\theta\right)+\left(1-\tfrac{b}{6a}\tan\theta\right)\left(\tfrac{1}{2}\tan\theta\right) \end{array}\right) \\ \Rightarrow \left(\begin{array}{c} x_{trapes} \\ y_{trapes} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} \tfrac{b}{2}-\tfrac{b^2}{12a}\tan\theta \\ \tfrac{a}{2}+\tfrac{b^2}{24a}\tan^2\theta \end{array}\right)\cdots\cdots\left(6\right)

pusat massa: \left(x_{trapes},y_{trapes}\right)=\left(\tfrac{b}{2}-\tfrac{b^2}{12a}\tan\theta,\tfrac{a}{2}+\tfrac{b^2}{24a}\tan^2\theta\right)

Down, the Glass Falls

Pemiringan gelas sebesar \theta berarti pemutaran pusat massa trapesium sejauh \theta terhadap pusat koordinat melawan arah jarum jam. (Lihat gambar 6!)

\left(\begin{array}{c} x'_{trapes} \\ y'_{trapes}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta\end{array}\right)\left(\begin{array}{c} x_{trapes} \\ y_{trapes}\end{array}\right) \cdots\cdots\left(7\right)

Gambar 6. Keadaan trapesium sesaat sebelum terguling.

Sesaat sebelum terguling, pusat massa trapesium tepat di atas titik tumpu gelas sehingga absisnya bernilai nol.

\left(\begin{array}{c} 0 \\ y'_{trapes}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} x_{trapes}\cos\theta-y_{trapes}\sin\theta \\ x_{trapes}\sin\theta+y_{trapes}\cos\theta\end{array}\right) \\ \Rightarrow x_{trapes}=y_{trapes}\tan\theta \\ \Rightarrow \tfrac{b^2}{24a}\tan^3\theta+\left(\tfrac{a}{2}+\tfrac{b^2}{12a}\right)\tan\theta-\tfrac{b}{2}=0 \\ \Rightarrow b^2\tan^3\theta+\left(12a^2+2b^2\right)\tan\theta-12ab=0\cdots\cdots\left(8\right)

Jika a dan b diketahui, fungsi berdasarkan persamaan (8) dapat diplot dan dicari perpotongannya dengan sumbu \theta.

Scrutinizing It More

Dari persamaan (8), diperoleh kesimpulan bahwa yang menentukan kemiringan maksimum supaya gelas tidak terguling yaitu nilai a dan b. Dapat dicari rentang nilai \theta yang mungkin. Anggap variabel persamaannya a!

b^2\tan^3\theta+\left(12a^2+2b^2\right)\tan\theta-12ab=0 \\ \Rightarrow \left(12\tan\theta\right)a^2-\left(12b\right)a+\left(b^2\tan^3\theta+2b^2\tan\theta\right)=0\cdots\cdots\left(9\right)

Supaya (9) memiliki hasil untuk a, diskriminannya tidak boleh negatif.

D\ge 0 \\ \Rightarrow \left(-12b\right)^2-4\left(12\tan\theta\right)\left(b^2\tan^3\theta+2b^2\tan\theta\right)\ge 0 \\ \Rightarrow \tan^4\theta+2\tan^2\theta-3\le 0 \\ \Rightarrow \left(\tan\theta+1\right)\left(\tan\theta-1\right)\left(\tan^2\theta+3\right)\le 0 \\ \Rightarrow -1 \le \tan\theta \le 1 \\ \Rightarrow -45^\circ \le \theta \le 45^\circ\cdots\cdots\left(10\right)

Jika dianggap variabel persamaannya b, didapat persamaan berikut.

12a^2\tan\theta - 12ab + b^2 \tan^3 \theta + 2b^2 \tan\theta = 0
\\ \Rightarrow \left( \tan^3 \theta + 2\tan\theta \right)b^2 - \left( 12a \right) b + 12a^2 \tan\theta = 0 \cdots\cdots \left( 11 \right)

Supaya (11) memiliki hasil untuk b, diskriminannya tidak boleh negatif.

D \ge 0
\\ \Rightarrow \left( -12a \right)^2 - 4\left( \tan^3 \theta + 2\tan\theta \right) \left( 12a^2 \tan\theta \right) \ge 0
\\ \Rightarrow \left( \tan^4 \theta + 2\tan^2 \theta - 3 \right) \le 0
\\ \Rightarrow \left(\tan\theta+1\right)\left(\tan\theta-1\right)\left(\tan^2\theta+3\right)\le 0 \cdots\cdots \left( 12 \right)

Pertidaksamaan (12) identik dengan pertidaksamaan (10) sehingga akan menghasilkan interval penyelesaian yang sama pula.

Dapat disimpulkan bahwa sudut pemiringan gelas supaya tidak terguling tidak boleh melebihi 45°, baik searah maupun melawan arah jarum jam.

On Religion

Agama adalah candu.
Islam meliputi solusi masalah-masalah keimanan, ibadah, hidangan, pakaian, akhlak, ekonomi, pemerintahan, pergaulan, pendidikan, peradilan, persanksian, dakwah, dan jihad yang harus diterapkan, dijaga, dan disebarkan oleh individu, masyarakat, dan negara. Semua hal tadi diturunkan dari kesadaran penuh tentang hubungan kehidupan dengan sebelum dan sesudah penciptaan dunia. Cukuplah hal ini untuk menunjukkan candu macam apakah Islam itu.

On Society

Kalangan agamis dan sekuler harus dapat hidup berdampingan.
Kalangan agamis dan sekuler dapat hidup berdampingan hanya jika masyarakat yang terbentuk dibina dengan pemikiran, perasaan, ikatan, dan aturan yang sama. Masalahnya yaitu apa sumber pemikiran, perasaan, ikatan, dan aturan yang akan diterapkan. Allah menetapkan bahwa segala hal harus dirujukkan pada Islam.

On Asteroid

Jika asteroid terletak di antara orbit Mars dan Jupiter, mengapa ada peluang asteroid menabrak Bumi?
Sebenarnya, asteroid dapat ditemukan di berbagai tempat di Tata Surya dengan sebaran beragam. Kombinasi gaya gravitasi planet-planet, terutama Jupiter, dapat mengubah lintasan asteroid hingga masuk ke bagian dalam Tata Surya. Selalu ada peluang bahwa perubahan ini menghasilkan lintasan asteroid yang memotong lintasan Bumi.

On Pluto

Kenapa Pluto tidak lagi dianggap sebagai bagian dari Tata Surya?
Pluto masih dianggap sebagai bagian dari Tata Surya, namun bukan sebagai planet. Kini, Pluto dikelompokkan sebagai planet kerdil. Termasuk dalam kelompok ini yaitu objek-objek yang sifat-sifatnya khas dan Pluto memenuhi sifat-sifat khas ini.

On Big Bang

Teori Dentuman Besar menunjukkan bahwa alam semesta itu semula tidak ada dan diadakan oleh Pencipta.
Teori Dentuman Besar hanya menyatakan bahwa ruang, waktu, partikel, energi, dan gelombang semula terkonsentrasi dalam ukuran yang lebih kecil dari sekarang. Teori ini masih mengizinkan spekulasi bahwa, misalnya, Dentuman Besar terjadi berulang-ulang. Keberadaan Pencipta dibuktikan bukan dari Teori Dentuman Besar, melainkan dari penginderaan bahwa, apapun model fisika yang digunakan, bukan alam semesta yang menentukan hukum bagi dirinya.

On The Purpose of The Universe

Kajian fisika menunjukkan bahwa tidak ada tujuan penciptaan alam semesta.
Kajian fisika dilakukan oleh manusia dari dalam alam semesta terhadap alam semesta dan interaksi yang ada di dalamnya. Hasil kajian seperti ini hanya berupa prediksi kejadian atau interaksi yang terjadi dulu, kini, atau kelak dan bukan berupa tujuan, benar-salah, apalagi berhasil-gagalnya suatu hal. Tujuan penciptaan alam semesta hanya dapat diketahui jika ada kabar dari pihak yang mengadakan alam semesta.

On Religion

Manusia tidak lagi butuh agama karena semua masalah dapat diselesaikan dengan sains.
Pembuat pernyataan tadi keliru dalam memetakan masalah kehidupan. Sains tidak dapat digunakan untuk menyelesaikan masalah interaksi antarmanusia, seperti hak milik, distribusi kekayaan, pergaulan, hierarki otoritas, sanksi, atau penggunaan kekerasan. Solusi untuk masalah interaksi antarmanusia yaitu aturan dari otoritas penentu benar-salah.

On Jihad

Sesungguhnya Islam disebarkan dengan pedang.
Islam disebarkan dengan lisan, tulisan, dan pedang. Dengan lisan, tulisan, dan pedang itulah perlindungan atas agama, akal, harta, jiwa, dan kehormatan manusia diperluas. Dengan lisan, tulisan, dan pedang itulah yang benar dimenangkan dan yang salah dikalahkan.

On Death of Star

Apakah bintang bisa mati?
Kematian bintang bermakna berhentinya reaksi nuklir di inti bintang. Padahal, reaksi nuklirlah yang menjadikan bintang bersinar. Berhentinya reaksi nuklir berakibat makin redupnya bintang.

On Nationalism

Menolak nasionalisme berarti memecah persatuan bangsa.
Menolak nasionalisme berarti menolak ikatan lemah lagi emosional. Menolak nasionalisme berarti menolak terpecahnya manusia karena perbedaan nasib, budaya, etnis, dan rezim penjajah. Menolak nasionalisme berarti menolak ikatan yang bertentangan dengan Islam.

On Regulation

Yang penting itu bukan adanya aturan, tapi adanya penghormatan hak.
Penghormatan hak saja tidak berarti apa-apa. Kenyataannya ketika terjadi interaksi antarmanusia, selalu ada masalah yang timbul. Masalah interaksi antarmanusia hanya bisa diselesaikan dengan aturan.

On Regulation

Masyarakat yang tiap individunya sadar tidak membutuhkan aturan.
Pembuat pernyataan tadi keliru dalam memetakan persoalan. Masyarakat yang tiap individunya sadar akan menerapkan aturan tanpa paksaan. Baik ditulis atau tidak, dilegalisasi negara atau tidak, diterima semua pihak atau tidak, aturan akan selalu ada selama ada interaksi antarmanusia.

On Caliphate

Fakta sejarah menunjukkan bahwa Dawlah Khilafah penuh dengan penyimpangan dan kezaliman.
Dalam Dawlah Khilafah ketika terjadi penyimpangan dan kezaliman, pergaulan Islam masih terjaga, ekonomi Islam masih tegak, pengajaran Islam masih berlangsung, dakwah dan jihad masih dilaksanakan, serta baiat masih diperlukan untuk mengangkat khalifah. Ketika terjadi penyimpangan dan kezaliman, individu dan umat harus melakukan koreksi pada penguasa. Ketika terjadi penyimpangan dan kezaliman, Dawlah Khilafah tetap wajib ditegakkan.

On Claim of Truth

Tidak ada yang berhak mengklaim dirinya benar.
Setiap manusia berhak mengklaim dirinya benar. Kualitas klaim yang diajukan bergantung pada kualitas argumentasinya. Untuk menerima atau menolak suatu klaim, perlu dipelajari dulu pemikiran mendasarnya.

On Islamic Sharia

Penerapan syariat Islam itu tidak perlu karena yang penting adalah bagaimana masing-masing dari kita menjalankan Islam.
Isi pernyataan tadi saling bertentangan. Islam memuat ajaran yang harus diterapkan oleh individu, masyarakat, dan negara. Dengan demikian jika seseorang ingin benar-benar menjalankan Islam, dia harus, setidaknya, ingin supaya masyarakat dan negaranya menjalankan Islam.

On Absolute Truth

Kebenaran mutlak itu tidak ada.
Kualitas klaim yang diajukan bergantung pada kualitas argumentasinya. Untuk menerima atau menolak suatu klaim, perlu dipelajari dulu pemikiran mendasarnya. Kebenaran mutlak itu ada dan asalnya dari pemikiran mendasar yang dapat mengalahkan pemikiran tandingan lainnya.

On Islamic Sharia

Para pejuang syariat Islam harus berterima kasih pada demokrasi karena sudah dibebaskan dalam beraktivitas.
Pembuat pernyataan tadi terlalu sempit dalam memetakan persoalan. Kenyataan menunjukkan bahwa tidak ada negara penganut demokrasi yang mengizinkan diterapkannya syariat Islam secara total. Memudahkan aktivitas dakwah itu perbuatan baik, namun menolak syariat Islam itu perbuatan buruk.

On Attire

Bagaimana perempuan seharusnya berpakaian?
Pakaian perempuan harus menutup aurat, tidak tipis, tidak ketat, dan tidak seperti pakaian laki-laki. Aurat perempuan yaitu seluruh tubuh kecuali muka dan pergelangan tangan hingga ujung jari. Kerudung yang dikenakan harus terulur hingga dada dan di daerah umum, pakaian yang menutupi badan harus terdiri dari satu potongan utuh.

On Attire

Bagaimana laki-laki seharusnya berpakaian?
Pakaian laki-laki harus menutup aurat dan tidak seperti pakaian perempuan. Aurat laki-laki yaitu dari pusar hingga lutut. Pakaian yang dikenakan boleh terdiri dari satu atau beberapa potong.

On Islamic Sharia

Mengapa umat non-muslim harus mengikuti juga syariat Islam?
Umat non-muslim tidak harus mengikuti syariat Islam. Di dalam Dawlah Khilafah, yang akan melindungi agama, akal, harta, jiwa, dan kehormatan warganya dan dalam urusan-urusan yang tidak terkait dengan keimanan, mereka harus mengikuti syariat Islam. Di luar Dawlah Khilafah, umat non-muslim bebas mengikuti syariat manapun yang mereka sukai.

On Islamic Sharia

Mengapa kehidupan manusia harus didasarkan pada syariat Islam?
Syariat Islam harus dijadikan rujukan hidup karena demikianlah yang ditentukan Allah. Dalam Al Quran, Allah telah menjelaskan bahwa manusia dan jin diciptakan untuk mengabdi pada Allah. Selain itu, Allah menjanjikan dicurahkannya berbagai-bagai keberkahan jika syariat Islam diterapkan.

On Science Learning

Kenapa sains dipelajari?
Sains kealaman dipelajari supaya didapat prediksi kelakuan benda. Sementara itu, sains sosial dipelajari supaya didapat prediksi kelakuan sosial. Produk sains kealaman yaitu pengetahuan atau teknologi baru, sedangkan produk sains sosial yaitu pertimbangan untuk membuat kebijakan.

On War

Apakah Anda menyetujui berlangsungnya peperangan?
Saya menyetujui peperangan yang dibenarkan Islam. Islam membenarkan peperangan untuk melindungi agama, akal, harta, jiwa, serta kehormatan warganya. Islam juga membenarkan peperangan yang dilakukan Dawlah Khilafah untuk menyingkirkan rezim penghalang dakwah.

On Allah

Apa bukti keberadaan Allah?
Keberadaan Allah dibuktikan dengan kenyataan bahwa Al Quran berasal dari Pencipta. Al Quran memuat informasi bahwa nama Pencipta yaitu Allah. Tanpa informasi ini, manusia tidak bisa tahu nama Pencipta.

On Creator

Apa bukti keberadaan Pencipta?
Keberadaan Pencipta dibuktikan dengan kenyataan bahwa bukan alam semesta yang menentukan hukum bagi dirinya. Ini menunjukkan bahwa keberadaan alam semesta bergantung pada pihak lain. Yang layak menjadi pangkal kebergantungan hanyalah zat yang bebas dari segala keterbatasan dan keberadaannya mutlak.

On God

Apakah tuhan itu ada?
Kenyataan menunjukkan bahwa tuhan itu ada dan beragam wujudnya. Meskipun demikian, zat yang layak dipertuhankan hanyalah zat yang bebas dari segala keterbatasan dan keberadaannya mutlak. Zat yang bersifat demikian hanyalah Allah.

On Black Hole

Apa itu lubang hitam?
Lubang hitam yaitu jasad bintang yang runtuh ke dalam. Keruntuhan ini terjadi karena besarnya massa jasad bintang sehingga semua partikelnya tertarik ke dalam oleh gaya gravitasi. Kuatnya medan gravitasi lubang hitam melengkungkan ruang-waktu sedemikian rupa sehingga tidak ada sinar yang dapat memancar darinya atau memantul padanya.