Sebuah gelas, yang lebar alasnya b, diisi air setinggi a. (Lihat gambar 1!) Gelas tersebut dimiringkan sebesar \theta. Tentukan sudut kemiringan maksimum supaya gelas tidak terguling!
anggapan:
1) gelas berbentuk balok sehingga cukup hanya penampang samping yang diperhitungkan
2) air tidak tumpah hingga sesaat sebelum gelas terguling
3) massa gelas bernilai nol
Gambar 1. Ilustrasi gelas sebelum dimiringkan.
Modelling the Case
Berikut gambar sesaat sebelum gelas terguling; penampang samping air berbentuk trapesium dan pusat massanya tepat di atas titik tumpu gelas. (Lihat gambar 2!)
Gambar 2. Ilustrasi gelas ketika dimiringkan sesaat sebelum terguling.
Scrutinizing the Model
Perlu dicari dulu pusat massa trapesium. Untuk memudahkan perhitungan, sumbu koordinat diputar sedemikian rupa supaya tinggi dan sisi-sisi sejajar trapesium sejajar dengan sumbu koordinat. (Lihat gambar 3!)
Gambar 3. Untuk memudahkan perhitungan, trapesium penampang samping air ditegakkan.
Volume air sebelum dimiringkan sama dengan volumenya sesudah dimiringkan sehingga luas penampang samping air tetap.
ab=\tfrac{1}{2}b\left(b\tan\theta+2c\right) \\ \Rightarrow c=a-\tfrac{b}{2}\tan\theta\cdots\cdots\left(1\right)
Bangun trapesium akan dipecah menjadi persegi panjang dan segitiga siku-siku.
The Center of a Rectangle
pusat massa: \left(x_A,y_A\right) (Lihat gambar 4!)
Gambar 4. Persegi panjang A, bagian bawah trapesium.
x_A=\tfrac{b}{2},y_A=\tfrac{c}{2}=\tfrac{a}{2}-\tfrac{b}{4}\tan\theta\cdots\cdots\left(2\right)
pusat massa: \left(x_A,y_A\right)=\left(\tfrac{b}{2},\tfrac{a}{2}-\tfrac{b}{4}\tan\theta\right)
The Center of a Triangle
pusat massa: \left(x_B,y_B\right) (Lihat gambar 5!)
Gambar 5. Segitiga B, bagian atas trapesium.
p:y_p=-\tfrac{x}{2}\tan\theta+\tfrac{b}{2}\tan\theta=\tfrac{1}{2}\tan\theta\left(b-x\right)\cdots\cdots\left(3a\right)
q:y_q=-2x\tan\theta+b\tan\theta=\tan\theta\left(b-2x\right)\cdots\cdots\left(3b\right)
Titik \left(x_B,y_B\right) merupakan perpotongan antara garis berat p dan q.
y_p=y_q \\ \Rightarrow \tfrac{1}{2}\tan\theta\left(b-x_B\right)=\tan\theta\left(b-2x_B\right) \\ \Rightarrow x_B=\tfrac{b}{3}\cdots\cdots\left(4a\right)
y_B=\tfrac{1}{2}\tan\theta\left(b-x_B\right) \\ \Rightarrow y_B=\tfrac{b}{3}\tan\theta\cdots\cdots\left(4b\right)
pusat massa: \left(x_B,y_B\right)=\left(\tfrac{b}{3},\tfrac{a}{3}\tan\theta\right)
The Center of a Trapezium
pusat massa: \left(x_{trapes},y_{trapes}\right)
\left(\begin{array}{c} x_{trapes} \\ y_{trapes} \end{array}\right)=\frac{1}{L_A+L_B}\left(\begin{array}{c} x_A L_A + x_B L_B \\ y_A L_A + \left(y_B+c\right) L_B \end{array}\right) \\ \Rightarrow\left(\begin{array}{c} x_{trapes} \\ y_{trapes} \end{array}\right)=\frac{1}{L_A+L_B}\left(\begin{array}{cc} x_A & x_B \\ y_A & y_B \end{array}\right)\left(\begin{array}{c} L_A \\ L_B \end{array}\right)\cdots\cdots\left(5\right)
Harus diingat bahwa 1) segitiga B terletak di atas persegi panjang A jadi ordinat titik beratnya harus ditambah c dan 2) luas penampang samping air tetap sehingga \left(L_A+L_B\right)=ab, tidak perlu menggunakan rumus luas trapesium.
\left(\begin{array}{c} x_{trapes} \\ y_{trapes} \end{array}\right) \\ =\frac{1}{ab}\left(\begin{array}{cc} \tfrac{b}{2} & \tfrac{b}{3} \\ \tfrac{a}{2}-\tfrac{b}{4}\tan\theta & \tfrac{b}{3}\tan\theta+\left(a-\tfrac{b}{2}\tan\theta\right) \end{array}\right)\left(\begin{array}{c} b\left(a-\tfrac{b}{2}\tan\theta\right) \\ \tfrac{1}{2}b^2\tan\theta \end{array}\right) \\ =\frac{1}{ab}\left(\begin{array}{cc} \tfrac{b}{2} & \tfrac{b}{3} \\ \tfrac{a}{2}-\tfrac{b}{4}\tan\theta & a-\tfrac{b}{6}\tan\theta \end{array}\right)\left(\begin{array}{c} ab-\tfrac{b^2}{2}\tan\theta \\ \tfrac{1}{2}b^2\tan\theta \end{array}\right) \\ =\left(\begin{array}{cc} \tfrac{b}{2a} & \tfrac{b}{3a} \\ \tfrac{1}{2}-\tfrac{b}{4a}\tan\theta & 1-\tfrac{b}{6a}\tan\theta \end{array}\right)\left(\begin{array}{c} a-\tfrac{b}{2}\tan\theta \\ \tfrac{1}{2}b\tan\theta \end{array}\right)
\\=\left(\begin{array}{c} \tfrac{b}{2a}\left(a-\tfrac{b}{2}\tan\theta\right)+\tfrac{b}{3a}\left(\tfrac{1}{2}b\tan\theta\right) \\ \left(\tfrac{1}{2}-\tfrac{b}{4a}\tan\theta\right)\left(a-\tfrac{b}{2}\tan\theta\right)+\left(1-\tfrac{b}{6a}\tan\theta\right)\left(\tfrac{1}{2}\tan\theta\right) \end{array}\right) \\ \Rightarrow \left(\begin{array}{c} x_{trapes} \\ y_{trapes} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} \tfrac{b}{2}-\tfrac{b^2}{12a}\tan\theta \\ \tfrac{a}{2}+\tfrac{b^2}{24a}\tan^2\theta \end{array}\right)\cdots\cdots\left(6\right)
pusat massa: \left(x_{trapes},y_{trapes}\right)=\left(\tfrac{b}{2}-\tfrac{b^2}{12a}\tan\theta,\tfrac{a}{2}+\tfrac{b^2}{24a}\tan^2\theta\right)
Down, the Glass Falls
Pemiringan gelas sebesar \theta berarti pemutaran pusat massa trapesium sejauh \theta terhadap pusat koordinat melawan arah jarum jam. (Lihat gambar 6!)
\left(\begin{array}{c} x'_{trapes} \\ y'_{trapes}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta\end{array}\right)\left(\begin{array}{c} x_{trapes} \\ y_{trapes}\end{array}\right) \cdots\cdots\left(7\right)
Gambar 6. Keadaan trapesium sesaat sebelum terguling.
Sesaat sebelum terguling, pusat massa trapesium tepat di atas titik tumpu gelas sehingga absisnya bernilai nol.
\left(\begin{array}{c} 0 \\ y'_{trapes}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} x_{trapes}\cos\theta-y_{trapes}\sin\theta \\ x_{trapes}\sin\theta+y_{trapes}\cos\theta\end{array}\right) \\ \Rightarrow x_{trapes}=y_{trapes}\tan\theta \\ \Rightarrow \tfrac{b^2}{24a}\tan^3\theta+\left(\tfrac{a}{2}+\tfrac{b^2}{12a}\right)\tan\theta-\tfrac{b}{2}=0 \\ \Rightarrow b^2\tan^3\theta+\left(12a^2+2b^2\right)\tan\theta-12ab=0\cdots\cdots\left(8\right)
Jika a dan b diketahui, fungsi berdasarkan persamaan (8) dapat diplot dan dicari perpotongannya dengan sumbu \theta.
Scrutinizing It More
Dari persamaan (8), diperoleh kesimpulan bahwa yang menentukan kemiringan maksimum supaya gelas tidak terguling yaitu nilai a dan b. Dapat dicari rentang nilai \theta yang mungkin. Anggap variabel persamaannya a!
b^2\tan^3\theta+\left(12a^2+2b^2\right)\tan\theta-12ab=0 \\ \Rightarrow \left(12\tan\theta\right)a^2-\left(12b\right)a+\left(b^2\tan^3\theta+2b^2\tan\theta\right)=0\cdots\cdots\left(9\right)
Supaya (9) memiliki hasil untuk a, diskriminannya tidak boleh negatif.
D\ge 0 \\ \Rightarrow \left(-12b\right)^2-4\left(12\tan\theta\right)\left(b^2\tan^3\theta+2b^2\tan\theta\right)\ge 0 \\ \Rightarrow \tan^4\theta+2\tan^2\theta-3\le 0 \\ \Rightarrow \left(\tan\theta+1\right)\left(\tan\theta-1\right)\left(\tan^2\theta+3\right)\le 0 \\ \Rightarrow -1 \le \tan\theta \le 1 \\ \Rightarrow -45^\circ \le \theta \le 45^\circ\cdots\cdots\left(10\right)
Jika dianggap variabel persamaannya b, didapat persamaan berikut.
12a^2\tan\theta - 12ab + b^2 \tan^3 \theta + 2b^2 \tan\theta = 0
\\ \Rightarrow \left( \tan^3 \theta + 2\tan\theta \right)b^2 - \left( 12a \right) b + 12a^2 \tan\theta = 0 \cdots\cdots \left( 11 \right)
Supaya (11) memiliki hasil untuk b, diskriminannya tidak boleh negatif.
D \ge 0
\\ \Rightarrow \left( -12a \right)^2 - 4\left( \tan^3 \theta + 2\tan\theta \right) \left( 12a^2 \tan\theta \right) \ge 0
\\ \Rightarrow \left( \tan^4 \theta + 2\tan^2 \theta - 3 \right) \le 0
\\ \Rightarrow \left(\tan\theta+1\right)\left(\tan\theta-1\right)\left(\tan^2\theta+3\right)\le 0 \cdots\cdots \left( 12 \right)
Pertidaksamaan (12) identik dengan pertidaksamaan (10) sehingga akan menghasilkan interval penyelesaian yang sama pula.
Dapat disimpulkan bahwa sudut pemiringan gelas supaya tidak terguling tidak boleh melebihi 45°, baik searah maupun melawan arah jarum jam.
Tidak ada komentar:
Posting Komentar