Dalam Alamat Bintang, dipaparkan cara mengukur ketinggian dan azimut benda langit. Untuk kasus Matahari, pengukuran bisa dilakukan dengan sebuah tiang dan landasan berskala. Pengukuran dengan cara ini cukup akurat, namun sebenarnya akurasinya layak dipertanyakan. What is the meaning of the maksud?
Falsifying Fact
Pengukuran ketinggian menggunakan tiang dalam Alamat Bintang memanfaatkan asumsi bahwa sinar Matahari tiba di permukaan Bumi sebagai berkas sejajar.
Gambar 1. Asumsi yang sering digunakan dalam pengamatan Matahari di permukaan Bumi; sinar Matahari tiba di permukaan Bumi sebagai berkas sejajar. (foto Bumi oleh Harrison Schmitt dan Ron Evans)[1]
Benarkah asumsi tadi? Tidak!
Sinar Matahari memang tiba di permukaan Bumi sebagai berkas hampir sejajar, tapi tidak tepat sejajar. Sumber sinar Matahari, yakni massa Matahari, yang panas karena adanya reaksi nuklir di intinya, berbentuk bundar. Massa ini memancarkan sinar ke segala arah. Dengan demikian, berkas sinar Matahari tidak sejajar karena dipancarkan secara menyebar ke segala arah dari satu sumber.
Dampaknya yaitu sudut ketinggian Matahari dari dasar tiang tidak sama dengan sudut ketinggian dari puncak tiang.
Gambar 2. Ilustrasi kondisi terkait pengukuran sudut ketinggian Matahari menggunakan tiang. (foto Bumi oleh Harrison Schmitt dan Ron Evans)
Secara umum, inilah kondisi yang terjadi dalam pengukuran sudut ketinggian Matahari dari daerah mana pun selain di pusat massa Bumi.
Gambar 3. Pengukuran sudut ketinggian Matahari dari permukaan laut dan dari puncak gunung. Hasil keduanya berbeda.
Stay Cool, Stay Calm, Stay Confident
Tenangkan diri kita, tarik napas dalam-dalam, hembuskan pelan-pelan, lalu mari kita periksa seberapa gawat situasinya!
Gambar 4. Beberapa parameter dalam pengukuran sudut ketinggian Matahari. (foto Bumi oleh Harrison Schmitt dan Ron Evans)
Sudut \alpha yaitu sudut ketinggian yang didapat dari invers tangen tinggi tiang dan bayangannya, \beta yaitu sudut ketinggian dari dasar tiang, h yaitu tinggi tiang, R yaitu jarak antara dasar tiang dan Matahari, r yaitu jarak antara puncak tiang dan Matahari, D yaitu jarak antara pusat Bumi dan Matahari, dan R_{Bumi} yaitu jari-jari Bumi.
Diasumsikan nilai R_{Bumi} 6.371,0 km dan D 150.000.000 km.[2] Akan dianalisis kondisi-kondisi tertentu yang melibatkan nilai minimum atau maksimum \beta dan \alpha.
First Extreme
Berikut kondisi ketika R dan r minimum. Pada kondisi ini setinggi apapun tiangnya, \beta dan \alpha sama-sama bernilai 90°.
Gambar 5. Orientasi tiang terhadap Matahari ketika sudut ketinggian Matahari 90°. Susunan ini terjadi saat tengah hari. (foto Bumi oleh Harrison Schmitt dan Ron Evans)
Second Extreme
Berikut kondisi ketika ketinggian Matahari 0°, diukur dari puncak tiang, atau ketika \alpha bernilai 0°.
Gambar 6. Orientasi tiang terhadap Matahari ketika sudut ketinggian Matahari 0°, diukur dari puncak tiang. Susunan ini terjadi sesudah Matahari terbit atau sebelum Matahari terbenam. (foto Bumi oleh Harrison Schmitt dan Ron Evans)
Berikut nilai R.
R = \sqrt{r^2 + h^2} \\ = \sqrt{D^2 - \left(R_{Bumi} + h\right)^2 + h^2} \\ = \sqrt{D^2 - R_{Bumi}^2 - 2R_{Bumi}h} \cdots\cdots \left(1\right)
Kondisi berikut harus dipenuhi supaya \beta tidak lebih besar dari 0,01°.
\beta \le 0,01^\circ \\ \Rightarrow\sin\beta\le\sin0,01^\circ \\ \Rightarrow \frac{h}{\sqrt{D^2 - R_{Bumi}^2 - 2R_{Bumi}h}} \le \sin0,01^\circ \\ \Rightarrow \frac{h^2}{D^2 - R_{Bumi}^2 - 2R_{Bumi}h} \le \sin^20,01^\circ \\ \Rightarrow Ah^2 + Bh + C \le 0 \cdots\cdots\left(2 \right)
\\ A = 1\cdots\cdots\left(3a\right) \\ B = 2R_{Bumi}\sin^20,01^\circ \cdots\cdots\left(3b\right) \\ C = -\left( D^2-R^2_{Bumi} \right)\sin^20,01^\circ \cdots\cdots\left(3c\right)
Berikut nilai-nilai batas untuk pertidaksamaan (2).
h = \frac{-B \pm \sqrt{B^2 - 4AC}}{2A} \\ \Rightarrow h_1 = 26.180 \text{ km}\cdots\cdots\left(4a\right) \\ \Rightarrow h_2 = -26.180 \text{ km}\cdots\cdots\left(4b\right)
Jadi ketika \alpha bernilai 0°, \beta bernilai tidak akan lebih dari 0,01° selama tinggi tiang tidak lebih dari sekitar 26 ribu kilometer. (Macam apa pula tiang yang panjangnya 26 ribu kilometer?)
Third Extreme
Berikut kondisi ketika ketinggian Matahari 0°, diukur dari dasar tiang, atau ketika \beta bernilai 0°.
Gambar 7. Orientasi tiang terhadap Matahari ketika sudut ketinggian Matahari 0°, diukur dari dasar tiang. Susunan ini terjadi saat Matahari terbit atau terbenam. (foto Bumi oleh Harrison Schmitt dan Ron Evans)
Berikut nilai r.
r = \sqrt{R^2 + h^2} \\ = \sqrt{D^2-R^2_{Bumi} + h^2} \cdots\cdots \left(5\right)
Kondisi berikut harus dipenuhi supaya \alpha tidak lebih besar dari 0,01°.
\alpha \le 0,01^\circ \\ \Rightarrow\sin\alpha\le\sin0,01^\circ \\ \Rightarrow \frac{h}{\sqrt{D^2 - R^2_{Bumi} + h^2}} \le \sin0,01^\circ \\ \Rightarrow \frac{h^2}{D^2 - R^2_{Bumi} + h^2} \le \sin^20,01^\circ \\ \Rightarrow X^2h^2 - Y^2 \le 0\cdots\cdots\left(6\right)
\\ X^2 = 1 - \sin^2 0,01^\circ\cdots\cdots\left(7a\right) \\ Y^2 = \left(D^2-R_{Bumi}^2\right)\sin^2 0,01^\circ\cdots\cdots\left(7b\right)
Berikut nilai-nilai batas untuk pertidaksamaan (6).
h = \pm Y/X \\ \Rightarrow h_1 =26.180 \text{ km}\cdots\cdots\left(8a\right) \\ \Rightarrow h_2 = -26.180 \text{ km}\cdots\cdots\left(8b\right)
Jadi lagi-lagi ketika \beta bernilai 0°, \alpha bernilai tidak akan lebih dari 0,01° selama tinggi tiang tidak lebih dari sekitar 26 ribu kilometer. (Tiang apa pula ini?)
Call of Challenge
Alhamdu lillah, pengukuran ketinggian Matahari menggunakan tiang yang panjangnya "lumrah" cukup akurat. Pokoknya selama tinggi tiang tidak lebih dari 26 juta kilometer, selisih \beta dan \alpha tidak akan lebih dari 0,01°.
Hanya tiga kondisi tadi yang perlu dipertimbangkan karena 1) pengukuran ketinggian Matahari tidak dapat dilakukan jika Matahari di bawah cakrawala dan 2) nilai maksimum atau minimum \beta dan \alpha terjadi pada tiga kondisi tadi.
Analisis dalam tulisan ini didasarkan pada asumsi bahwa jari-jari Bumi 6.371,0 km dan bahwa jarak Bumi-Matahari 150.000.000 km. Kenyataannya, jari-jari kutub Bumi 6.356,8 km, jari-jari khatulistiwa Bumi 6.378,1 km, jarak terdekat Bumi-Matahari 147.098.290 km, dan jarak terjauh Bumi-Matahari 152.098.232 km.
Perhitungkan semua besaran tadi dalam analisis selisih \beta dan \alpha!
Rujukan
[1]http://en.wikipedia.org/wiki/File:The_Earth_seen_from_Apollo_17.jpg
[2]Dr. David R. Williams, Earth Fact Sheet (NSSDC, penyuntingan terakhir 20 Mei 2009, http://nssdc.gsfc.nasa.gov/planetary/factsheet/earthfact.html)
Gambar 1. Anda sedang berada di pos satpam gerbang selatan ITB. Seseorang datang pada Anda dan menanyakan lokasi gedung program studi astronomi. Bagaimana cara Anda memberi petunjuk pada penanya tadi? (Wikimapia)[1]
Gambar 2. Bagaimana cara Anda memperingatkan rekan tentang arah lokasi musuh? (Tom Clancy's Ghost Recon Advanced Warfighter 2)
Gambar 6. Ilustrasi sudut ketinggian.
Gambar 7. Dua objek yang sudut ketinggiannya sama belum tentu posisinya sama juga.
Gambar 8. Ilustrasi sudut azimut.
Gambar 9. Jika azimut didefinisikan hanya sebagai sudut yang dibentuk oleh utara, pengamat, dan proyeksi benda pada cakrawala, maka ada dua kemungkinan posisi proyeksi benda di cakrawala.
Gambar 10. Ilustrasi rujukan arah pengukuran sudut azimut.
Gambar 11. Ilustrasi klinometer sederhana.
Gambar 12. Pengamatan sudut ketinggian objek dengan klinometer.
Gambar 13. Jika digunakan busur derajat sebagai komponen klinometer, biasanya perlu dilakukan penyesuaian. Sebabnya yaitu yang ditimpa benang bukan sudut ketinggian, melainkan 90° dikurangi/ditambah sudut ketinggian.
Gambar 14. Pengukuran sudut azimut suatu objek dengan kompas.
Gambar 15. Tiang untuk mengukur ketinggian dan azimut Matahari. Pada gambar, azimut Matahari 135°.
Gambar 16. Azimut 0° pada skala diarahkan ke selatan.
Gambar 17. Posisi kutub utara magnet sejak 1931 dan kutub utara geografi. Proyeksi kutub utara geografi pada bola langit merupakan kutub utara langit. Kutub utara langit merupakan salah satu ujung sumbu edar gerak semu harian benda langit. (Off the Beaten Path Maps)[2]
Gambar 18. Deklinasi magnetik bernilai positif jika arah utara magnet di timur utara geografi.
Gambar 20. Untuk mengetahui perkiraan deklinasi magnetik dari NOAA, dibutuhkan informasi koordinat lokasi pengamatan, yang bisa diperoleh dari, misalnya, 
Gambar 21. Simulasi bayangan benda pada 25 Juli 2010. Lingkaran digunakan sebagai penanda jarak dari dasar tiang. Jari-jarinya boleh berapapun, tapi sebaiknya lebih kecil dari panjang tiang supaya jam pemeriksaan bayangan tidak terlalu lama sebelum atau sesudah Matahari pada posisi tertingginya. Panjang dan posisi bayangan didasarkan pada model posisi Matahari dari perangkat lunak Stellarium.
Gambar 22. Simulasi bayangan benda pada 25 Juli 2010 dan arah timur dan barat geografi, atau azimut 90° dan 270°, yang ditentukan melalui pengukuran panjang bayangan tiang. Penentuan timur-barat lokal geografi dengan cara ini gagal hanya di kutub. (Di kutub memang tidak ada timur-barat.) Panjang dan posisi bayangan didasarkan pada model posisi Matahari dari perangkat lunak Stellarium.