Senin, 30 Agustus 2010

Paradoks Palsu

Pencipta itu ada. Keberadaannya dapat dibuktikan melalui penginderaan atas keadaan dunia. Alur pembuktiannya yaitu pembenaran pasti bahwa 1) dunia terikat pada hukum-hukum tertentu, 2) bukan dunia yang menentukan hukum bagi dirinya, 3) ada pihak yang menetapkan keterikatan dunia pada hukum-hukum tertentu, 4) jika pihak tersebut punya keterbatasan, maka keberadaannya bergantung pada pihak lain, 5) rantai kebergantungan pasti berakhir, 6) yang layak menjadi ujung rantai kebergantungan hanya pihak yang tidak terikat segala batasan, dan 7) ada pihak yang tidak terikat batasan, yang menjadi tempat bergantung semua yang memiliki keterbatasan.

Bagaimanapun, ada yang menolak keberadaan pencipta. Diantara dalil pendirian mereka yaitu sejumlah pertanyaan yang kemungkinan jawabannya selalu bertentangan dengan sendirinya. Pertentangan kemungkinan jawaban ini mereka anggap sebagai alasan kemustahilan adanya pencipta.


Mortal Muscle

Berikut pertanyaan mereka.

"Dapatkah pencipta menciptakan benda yang dia sendiri tidak bisa mengangkatnya? Jika dia dapat, berarti dia terbatas karena ada benda yang dia tidak bisa mengangkatnya. Jika dia tidak dapat, berarti dia terbatas karena tidak bisa menciptakan sesuatu."

Ada satu asumsi tersirat dalam pertanyaan di atas, yakni bahwa "pencipta" dibatasi kekuatan otot. Padahal, yang dibatasi kekuatan otot hanya makhluk yang memiliki otot. Dengan demikian, "pencipta" dalam pertanyaan di atas bukanlah pencipta yang sesungguhnya. Mereka tidak sadar bahwa pertanyaan di atas sama sekali tidak membahas pencipta dunia.

Tidak ada gunanya memilih salah satu kemungkinan jawaban atas pertanyaan mereka. Yang perlu dilakukan hanya memastikan apakah mereka menerima bahwa yang layak disebut pencipta hanya pihak yang bebas dari segala batasan. Kalau mereka menerima, segera katakan pada mereka bahwa pencipta tidak dibatasi kekuatan otot! Kalau mereka tidak menerima, mundurlah dari diskusi!


It Is Not, Indeed, It Is

Berikut bukan pertanyaan mereka; penulis belum pernah menjumpai mereka melontarkan pertanyaan ini. Justru penulis yang menawari mereka mengajukan pertanyaan berikut.

Dapatkah pencipta menciptakan sesuatu yang keberadaannya tidak bergantung pada pencipta?

Ini pertanyaan hebat. Didalamnya, tidak tersirat asumsi apapun tentang batasan pencipta. Sayang, pertanyaan ini rusak dengan sendirinya.

Yang diciptakan oleh pencipta pastilah makhluk. Inilah sebabnya pertanyaan tadi rusak dengan sendirinya; sama sekali tidak ada kemungkinan jawaban atas pertanyaan ini. Cobalah bertanya pada penjual laptop, "Pak/Bu, punya laptop yang bukan laptop?"


Demanding, Not Answering

Berikut pertanyaan mereka.

"Kalau memang pencipta itu ada, mengapa ada banyak sekali agama?"

Meskipun dapat dijawab, kadang-kadang pertanyaan di atas tidak perlu dijawab. Yang harus segera dilakukan yaitu menegaskan bahwa pertanyaan di atas sama sekali tidak ada hubungannya dengan pembuktian keberadaan pencipta. Jika mereka tetap menggunakan pertanyaan tadi sebagai dalil kemustahilan keberadaan pencipta, mundurlah dari diskusi!


Loathsome Logic

Berikut pertanyaan mereka.

"Jika keberadaan pencipta dapat dibuktikan dengan akal, maka keberadaan pencipta tergantung akal bukan?"

Pertanyaan di atas merupakan contoh kerancuan kaidah berpikir. Mula-mula, diandaikan bahwa keberadaan pencipta dapat dibuktikan dengan akal. Tiba-tiba kemudian, akal, yang tadinya diandaikan sebagai alat, dijadikan sebagai sumber kebergantungan keberadaan. Yang tergantung pada akal bukan keberadaan pencipta, tapi pengetahuan keberadaan pencipta. Tanpa mata, mungkin manusia tidak akan pernah tahu keberadaan Matahari, tapi ada-tiadanya Matahari tidak ada hubungannya dengan ada-tiadanya mata. Tanpa mikroskop, mungkin manusia tidak akan pernah tahu keberadaan sel, tapi ada-tiadanya sel tidak ada hubungannya dengan ada-tiadanya mikroskop.

Jika dihadapkan pada pertanyaan di atas, segera tegaskan bahwa mereka telah mengubah status akal dari alat menjadi sumber keberadaan! Jika mereka tetap menggunakan pertanyaan tadi sebagai dalil kemustahilan keberadaan pencipta, mundurlah dari diskusi!


Conceited Contradiction

Berikut pertanyaan mereka.

"Jika pencipta itu bebas dari segala batasan, mengapa dia menetapkan aturan-aturan bagi manusia? Itu berarti pencipta tidak bebas dari batasan."

Dalam pertanyaan di atas, diandaikan pencipta bebas dari batasan. Pun diutarakan adanya klaim aturan-aturan dari pencipta. Kemudian, kebebasan dari batasan tadi dipertentangkan dengan keberadaan aturan dari pencipta. Inilah kekacauan dalam pertanyaan di atas; pertentangannya fiktif. Kebebasan pencipta dari batasan itu satu hal, sementara adanya aturan-aturan bagi manusia dari pencipta itu hal lain. Jika seorang praktisi beladiri meminta jangan disakiti, itu tidak berarti dia tidak mampu menyakiti bukan?

Jika dihadapkan pada pertanyaan di atas, segera tegaskan bahwa dua hal dalam pertanyaannya tidak bertentangan! Jika mereka tidak mau menerima, mundurlah dari diskusi!

Jumat, 06 Agustus 2010

Segitiga Kok Bola

Segitiga adalah bangun datar yang disusun oleh tiga garis lurus. Penjumlahan panjang dua garisnya, yang manapun itu, selalu lebih besar dari panjang garis ketiga. Sifat khas lainnya yaitu penjumlahan semua sudutnya selalu 180°. Ada kasus menarik terkait dengan segitiga.

Ambil globe dan temukan kutub utara! Tandai kutub utara sebagai titik A! Tentukan dua titik pada khatulistiwa yang selisih bujurnya 90°! Tandai keduanya sebagai B dan C! Tarik tiga garis lurus yang menghubungkan ketiganya! Bangun apakah yang terbentuk?

Gambar 1. Bangun yang dibentuk oleh garis-garis yang menghubungkan kutub utara serta dua titik pada khatulistiwa yang selisih bujurnya 90°.

Garis-garis pada bangun merupakan garis lurus. Penjumlahan panjang dua garisnya selalu lebih besar dari panjang garis ketiga. Dengan dua pertimbangan tadi, janganlah Anda ragu-ragu untuk menyatakan bahwa bangun yang terbentuk merupakan segitiga! Mari kita periksa sudut-sudutnya!

Di kutub, ada dua garis bertemu. Selisih bujur dua garis tersebut besarnya 90°. Sudut antara keduanya pasti 90°. Di titik B, ada pertemuan dua garis juga; satu garis menyusuri bujur dan satu lagi menyusuri khatulistiwa. Jadi, sudut di titik B pun pasti 90°. Jika kini Anda tercengang, saya maklum; penjumlahan dua sudut tadi sudah 180°. Saya juga maklum jika Anda mulai meragukan kelayakan bangun kita tadi disebut segitiga. Tapi mari kita lanjutkan pemeriksaannya!

Berapakah sudut di titik C? Sudutnya 90°. Jadi kini, kita punya bangun, maaf, segitiga yang jumlah semua sudutnya 270°.


Relaxed Retaliation

Penjumlahan semua sudut segitiga selalu 180° hanya jika bidangnya datar. Bangun yang tadi kita buat pada dasarnya memang segitiga, namun dibangun pada bidang lengkung, bukan datar. Jika dibangun pada permukaan bola, segitiga yang terbentuk disebut segitiga bola.

Kajian segitiga bola dibutuhkan untuk mempelajari gerakan benda langit. Semua benda langit seolah-olah terletak pada bola langit. Bola langit, seperti namanya, berbentuk bola. Jadi, segala garis atau bidang pada bola langit tidak bisa ditinjau sebagai garis atau bidang pada bidang datar.

Mari kita tinjau anatomi bola!

Gambar 2. Anatomi bangun ruang bola.

Lingkaran besar merupakan lingkaran pada permukaan bola yang pusatnya tepat di pusat bola. Jika tidak memotong pusat bola, lingkaran tersebut disebut lingkaran kecil. Konsep lingkaran besar sangat penting dalam kajian bangun bola karena busur lingkaran besar merupakan jarak terpendek antara dua titik di permukaan bola. Tiga garis yang tadi kita buat pada globe merupakan busur dari lingkaran besar. Perlu juga diketahui bahwa para matematikawan telah mendefinisikan segitiga bola sebagai segitiga yang dibentuk oleh perpotongan tiga lingkaran besar.

Hingga kini, kita telah menemukan satu keanehan segitiga bola; jumlah semua sudutnya lebih besar dari 180°. Mari kita curiga! Adakah keanehan-keanehan lain pada segitiga bola?


Let Angle Defines

Tinjau perbandingan dua busur lingkaran besar berikut!

Gambar 3. Perbandingan dua busur lingkaran besar pada khatulistiwa. Kedua busur tersebut melingkupi sudut juring yang sama karena melingkupi bentang bujur yang sama. Yang berbeda pada kedua busur yaitu panjang dan jari-jarinya.

Tinjau perbandingan lain berikut, sebagai pengembangan perbandingan sebelumnya!

Gambar 4. Perbandingan sudut pada perpotongan dua busur lingkaran besar pada dua bola. Kedua sudut pasti sama karena dibentuk oleh garis-garis bujur yang sama.

Pada segitiga, dan semua bangun datar, kita mengenal konsep sudut dan panjang sisi. Dua konsep ini bisa saja kita terapkan pada segitiga bola. Tapi ingatlah kembali sudut juring yang dilingkupi suatu busur lingkaran besar! Bukankah panjang busur tergantung jari-jari dan sudutnya? Jika hanya satu bola yang ditinjau, berarti panjang busur hanya tergantung pada sudut juringnya bukan? Mari kita nyatakan panjang busur lingkaran besar dalam satuan sudut!

Gambar 5. Sisi dan sudut pada segitiga datar dan segitiga bola.

Scrutinizing the Sphere

Mari kita analisis besaran-besaran dalam segitiga bola!

Gambar 6. Besaran-besaran dalam segitiga bola.

Dalam gambar di atas, A, B, dan C yaitu sudut-sudut pada segitiga bola, x, y, dan z yaitu sisi-sisi segitiga bola, \hat{A}, \hat{B}, dan \hat{C} yaitu vektor-vektor unit dari pusat bola yang mengarah ke A, B, dan C, sedangkan \hat{t}_{m,N} yaitu vektor unit sepanjang m, berpangkal di N, dan tegak lurus \hat{N}.

\hat{A} \cdot \hat{B} = \left| \hat{A} \right| \left| \hat{B} \right| \cos z \\ \Rightarrow \hat{A} \cdot \hat{B} = \cos z \cdots \cdots \left( 1a \right)
\hat{B} \cdot \hat{C} = \left| \hat{B} \right| \left| \hat{C} \right| \cos x \\ \Rightarrow \hat{B} \cdot \hat{C} = \cos x \cdots \cdots \left( 1b \right)
\hat{A} \cdot \hat{C} = \left| \hat{A} \right| \left| \hat{C} \right| \cos y \\ \Rightarrow \hat{A} \cdot \hat{C} = \cos y \cdots \cdots \left( 1c \right)

Telah didefinisikan bahwa \hat{t}_{m,N} selalu tegak lurus \hat{N}. Berlakulah hubungan berikut.

\\ \hat{t}_{z,A} \parallel \hat{B} - \hat{A}\cos z \cdots\cdots \left( 2a \right) \\ \hat{t}_{y,A} \parallel \hat{C} - \hat{A}\cos y \cdots\cdots \left( 2b \right) \\ \hat{t}_{y,C} \parallel \hat{A} - \hat{C}\cos y \cdots\cdots \left( 2c \right) \\ \hat{t}_{x,C} \parallel \hat{B} - \hat{C}\cos x \cdots\cdots \left( 2d \right) \\ \hat{t}_{x,B} \parallel \hat{C} - \hat{B}\cos x \cdots\cdots \left( 2e \right) \\ \hat{t}_{z,B} \parallel \hat{A} - \hat{B}\cos z \cdots\cdots \left( 2f \right)

Vektor unit yaitu vektor yang besarnya satu. Supaya \hat{t}_{m,N} besarnya satu, ruas kanan pada (2) harus dibagi dengan nilai mutlak ruas kanan itu sendiri. Dengan demikian, dapat diturunkan hubungan-hubungan berikut.

\\ \hat{t}_{z,A} = \frac{\hat{B} - \hat{A}\cos z}{\left| \hat{B} - \hat{A}\cos z \right|} \cdots\cdots \left( 3a \right) \\ \hat{t}_{y,A} = \frac{\hat{C} - \hat{A}\cos y}{\left| \hat{C} - \hat{A}\cos y \right|} \cdots\cdots \left( 3b \right) \\ \hat{t}_{y,C} = \frac{\hat{A} - \hat{C}\cos y}{\left| \hat{A} - \hat{C}\cos y \right|} \cdots\cdots \left( 3c \right) \\ \hat{t}_{x,C} = \frac{\hat{B} - \hat{C}\cos x}{\left| \hat{B} - \hat{C}\cos x \right|} \cdots\cdots \left( 3d \right) \\ \hat{t}_{x,B} = \frac{\hat{C} - \hat{B}\cos x}{\left| \hat{C} - \hat{B}\cos x \right|} \cdots\cdots \left( 3e \right) \\ \hat{t}_{z,B} = \frac{\hat{A} - \hat{B}\cos z}{\left| \hat{A} - \hat{B}\cos z \right|} \cdots\cdots \left( 3f \right)

Vektor unit \hat{A}, \hat{B}, dan \hat{C} besarnya satu. Berlaku pulalah hubungan berikut.

\\ \sin z = \left| \hat{B} - \hat{A}\cos z \right| \cdots\cdots \left( 4a \right) \\ \sin y = \left| \hat{C} - \hat{A}\cos y \right| \cdots\cdots \left( 4b \right) \\ \sin y = \left| \hat{A} - \hat{C}\cos y \right| \cdots\cdots \left( 4c \right) \\ \sin x = \left| \hat{B} - \hat{C}\cos x \right| \cdots\cdots \left( 4d \right) \\ \sin x = \left| \hat{C} - \hat{B}\cos x \right| \cdots\cdots \left( 4e \right) \\ \sin z = \left| \hat{A} - \hat{B}\cos z \right| \cdots\cdots \left( 4f \right)

Menggunakan (4), hubungan (3) dapat disederhanakan.

\\ \hat{t}_{z,A} = \frac{\hat{B} - \hat{A}\cos z}{\sin z} \cdots\cdots \left( 5a \right) \\ \hat{t}_{y,A} = \frac{\hat{C} - \hat{A}\cos y}{\sin y} \cdots\cdots \left( 5b \right) \\ \hat{t}_{y,C} = \frac{\hat{A} - \hat{C}\cos y}{\sin y} \cdots\cdots \left( 5c \right) \\ \hat{t}_{x,C} = \frac{\hat{B} - \hat{C}\cos x}{\sin x} \cdots\cdots \left( 5d \right) \\ \hat{t}_{x,B} = \frac{\hat{C} - \hat{B}\cos x}{\sin x} \cdots\cdots \left( 5e \right) \\ \hat{t}_{z,B} = \frac{\hat{A} - \hat{B}\cos z}{\sin z} \cdots\cdots \left( 5f \right)

Vektor unit \hat{t}_{m,N} berpangkal di N. Jadi, perkalian titik dua \hat{t_{m,N}} yang pangkalnya sama merupakan kosinus pangkal tersebut.

\cos A = \hat{t}_{z,A} \cdot \hat{t}_{y,A} \\ \Rightarrow\cos A = \frac{\hat{B} - \hat{A} \cos z}{sin z} \cdot \frac{\hat{C} - \hat{A} \cos y}{\sin y} \\ \Rightarrow \cos A = \frac{\cos x - \cos y\cos z}{\sin y\sin z} \cdots\cdots \left( 6a \right)
\cos B = \hat{t}_{z,B} \cdot \hat{t}_{x,B} \\ \Rightarrow\cos B = \frac{\hat{A} - \hat{B}\cos z}{\sin z} \cdot \frac{\hat{C} - \hat{B}\cos x}{\sin x} \\ \Rightarrow \cos B = \frac{\cos y - \cos x\cos z}{\sin x\sin z} \cdots\cdots \left( 6b \right)
\cos C = \hat{t}_{x,C} \cdot \hat{t}_{y,C} \\ \Rightarrow\cos C = \frac{\hat{B} - \hat{C}\cos x}{\sin x} \cdot \frac{\hat{A} - \hat{C}\cos y}{\sin y} \\ \Rightarrow \cos C = \frac{\cos z - \cos x\cos y}{\sin x\sin y} \cdots\cdots \left( 6c \right)

Dari (6), dapat disimpulkan jika diketahui nilai tiga sisi/sudut, dapat dihitung nilai sisi/sudut keempat, dan seterusnya hingga keenam.


Apt Application

Koordinat Bandung yaitu 6°54'53"LS dan 107°36'35"BT.[1] Sementara itu, koordinat Mekah, kota tempat Ka'bah berada, 21°25'LU dan 39°49'BT.[2] Dari data koordinat dua posisi ini, bisa ditentukan arah kiblat dari Bandung.

Berikut ilustrasi segitiga bola yang dibentuk oleh kutub utara, Bandung, dan Mekah.

Gambar 7. Ilustrasi kasus arah kiblat dari Bandung.

Berikut nilai besaran-besaran dalam segitiga bola tersebut.

\\ B = 90^\circ - 21^\circ 25' = 68^\circ 35' \cdots\cdots \left( 7a \right) \\ C = 90^\circ + 6^\circ5 4'53'' = 96^\circ 54'53'' \cdots\cdots \left( 7b \right) \\ \text{Kutub} = 107^\circ 36'35'' - 39^\circ 49' = 67^\circ 47'35'' \cdots\cdots \left( 7c \right)

Dari (6), bisa diketahui nilai \cos A.

\cos \text{Kutub} = \frac{\cos A - \cos B\cos C}{\sin B\sin C} \\ \Rightarrow \cos A = \cos B \cos C + \cos \text{Kutub} \sin B \sin C \\ \Rightarrow \cos A = 0,3053 \cdots\cdots \left( 8 \right)

Dengan demikian, bisa diketahui arah kiblat dari Bandung.

\cos \text{Bandung} = \frac{\cos B - \cos A\cos C}{\sin A\sin C} \\ \Rightarrow \cos \text{Bandung} = \frac{\cos B - \cos A\cos C}{\sin C \sqrt{1 - \cos^2 A}} \\ \Rightarrow \cos \text{Bandung} = 0,4252 \\ \Rightarrow \text{Bandung} = 64,8395^\circ \cdots\cdots \left( 9 \right)

Jadi dari Bandung, arah kiblat yaitu sekitar 65° dari utara ke barat, atau sekitar 25° dari barat ke utara, atau azimut 295°. (Penjelasan tentang azimut dapat dibaca di Alamat Bintang.)


Rujukan

[1] http://en.wikipedia.org/wiki/Bandung
[2] http://en.wikipedia.org/wiki/Mecca