Pergerakan Sang Bintang

Dalam Pengumpulan Data dalam Astronomi, telah dipaparkan cara menandai posisi benda langit dengan merujuk pada perluasan khatulistiwa Bumi pada bola langit. Biasanya, rujukan posisi diharapkan tidak banyak berpindah sehingga dapat digunakan kapanpun. Ternyata sepanjang tahun, posisi Bumi berubah-ubah. Apa dampak dari ini?

Mari bayangkan kita sedang menatap sebuah perahu di tengah danau belasan meter di depan kita! Kalau kita bergeser ke kanan dan ingin tetap menatap perahu, maka kita harus memutar pandangan ke kiri. Makin jauh kita bergeser, makin besar pula sudut putaran pandangan kita.

Kini, mari kita bayangkan perahu tadi berjarak puluhan meter di depan kita! Untuk pergeseran tertentu, sudut putaran pandangannya lebih kecil dibandingkan jika perahunya lebih dekat. Hal serupa berlaku juga untuk posisi bintang jika dilihat dari Bumi.

How It Works

Bumi mengitari Matahari dalam lintasan berbentuk hampir lingkaran. Dengan demikian, posisi Bumi berubah-ubah. Padahal, khatulistiwa dan titik Aries merupakan rujukan kebumian. Jadi seperti pada kasus pengamatan perahu dari tepi danau, terjadi perubahan posisi bintang. Ilustrasi pergeseran posisi bintang dapat dilihat pada gambar berikut.

Gambar 1. Perubahan posisi bintang terhadap rujukan kebumian karena pergerakan Bumi mengelilingi Matahari.

Pada gambar di atas, a yaitu jarak rata-rata Matahari-Bumi, d jarak Matahari-bintang, \theta yaitu sudut pisah antara Matahari dan bintang dari Bumi, dan p yaitu pergeseran posisi bintang, dilihat dari Bumi, terhadap posisinya jika dilihat dari Matahari. Dari teorema sinus segitiga, didapat hubungan berikut.

\frac{\sin p}{a}=\frac{\sin\theta}{d} \\ \Rightarrow \sin p=\frac{a}{d}\sin\theta \cdots\cdots\left(1\right)

Suku \tfrac{a}{d} bernilai konstan dan didefinisikan sebagai sinus sudut paralaks bintang P.

\\\sin P=\frac{a}{d} \cdots\cdots\left(2a\right) \\ \sin p=\sin P\sin\theta \cdots\cdots\left(2b\right)

Sudut p dan P bernilai kecil sehingga dapat dilakukan pendekatan berikut.

\\ p\approx P\sin\theta \cdots\cdots\left(3\right)

Nilai a dan \theta dapat diukur, namun tidak demikian dengan p karena tidak diketahui sudah sejauh apa bintang tersebut bergeser. Dengan demikian, yang diukur yaitu perubahan posisi bintang untuk selang waktu setengah tahun sehingga didapat nilai p_1+p_2.

\left(p_1+p_2\right)\approx\frac{a}{d}\left(\sin\theta_1+\sin\theta_2\right) \\ \Rightarrow d\approx a\left(\frac{\sin\theta_1+\sin\theta_2}{\left(p_1+p_2\right) \text{radian}}\right) \cdots\cdots\left(4a\right) \\ \Rightarrow d\approx 206265\left(\frac{\sin\theta_1+\sin\theta_2}{\left(p_1+p_2\right) \text{detikbusur}}\right) \text{SA} \cdots\cdots\left(4b\right)

Celestial Scene

Dari Bumi, bintang terlihat bergerak menempuh lintasan elips yang sumbu semimayornya sejajar dengan ekliptika. Makin dekat bintang tersebut ke ekliptika, makin pendek sumbu semiminornya; bintang yang terletak tepat di ekliptika bergerak bolak-balik pada garis lurus. Tiap satu tahun, bintang kembali ke posisinya semula. Gambar berikut mengilustrasikan gerakan paralaks bintang. Makin panjang sumbu semimayor lintasan paralaks, makin dekat bintang tersebut dari Matahari.

Gambar 2. Perubahan posisi bintang pada bola langit, dibandingkan dengan perubahan tahunan asensiorekta dan deklinasi Matahari.

Posisi tiap saat bintang berhubungan dengan posisi Matahari; di lintasan paralaksnya, bintang akan menempati posisi terdekat dengan Matahari.

Compromised Coordinates

Untuk bintang yang diketahui asensiorekta, deklinasi, dan paralaksnya, dapat diketahui asensiorekta dan deklinasi teramati akibat paralaks. Untuk keperluan ini, dibutuhkan data asensiorekta dan deklinasi Matahari saat pengamatan.

Tinjaulah gambar berikut!

Gambar 3. Sejumlah titik rujukan untuk menghitung asensiorekta dan deklinasi teramati bintang.

Pada gambar di atas, X yaitu pusat dari lintasan paralaks bintang, yang juga berarti posisi bintang jika dilihat dari Matahari, X_j yaitu posisi bintang pada pengamatan ke-j, S_j yaitu posisi Matahari pada pengamatan ke-j, dan N yaitu kutub utara langit. Dengan titik-titik ini sebagai rujukan, dapat dibangun segitiga bola berikut.

Gambar 4. Segitiga bola untuk menghitung besar pergeseran posisi bintang serta asensiorekta dan deklinasi teramatinya.

Pada segitiga bola di atas, \delta_X dan \alpha_X yaitu deklinasi dan asensiorekta bintang, \delta_{X'} dan \alpha_{X'} yaitu deklinasi dan asensiorekta teramati bintang, X yaitu pusat lintasan paralaks bintang, X' yaitu posisi teramati bintang, \delta_{Sun} dan \alpha_{Sun} yaitu deklinasi dan asensiorekta Matahari, p yaitu jarak bintang dari pusat lintasan paralaks bintang, dan \theta yaitu sudut pisah antara bintang dan Matahari.

Dari teorema kosinus segitiga bola, didapat hubungan berikut.

\cos\left(p+\theta\right)
\\ =\cos\left(90^\circ-\delta_X\right)\cos\left(90^\circ-\delta_{Sun}\right)+\cdots
\\ \cdots +\sin\left(90^\circ-\delta_X\right)\sin\left(90^\circ-\delta_{Sun}\right)\cos\left(\alpha_X-\alpha_{Sun}\right)
\\ =\sin\delta_X\sin\delta_{Sun}+\cos\delta_X\cos\delta_{Sun}\cos\left(\alpha_X-\alpha_{Sun}\right)
\\ \Rightarrow p+\theta \\ =\arccos\left[\sin\delta_X\sin\delta_{Sun}+\cos\delta_X\cos\delta_{Sun}\cos\left(\alpha_{Sun}-\alpha_X\right)\right] \cdots\cdots\left(5\right)

Berikutnya dari hubungan (2b), dapat dihitung besar pergeseran posisi bintang.

\sin p=\sin P\sin \left[\left(p+\theta\right)-p\right] \\ =\sin P\left[\sin\left(p+\theta\right)\cos p-\cos\left(p+\theta\right)\sin p\right] \\ = \left[\sin P\sin \left(p+\theta\right)\right]\cos p-\left[\sin P\cos\left(p+\theta\right)\right]\sin p \\ \Rightarrow \left[1+\sin P\cos\left(p+\theta\right)\right]\sin p=\left[\sin P\sin\left(p+\theta\right)\right]\cos p \\ \Rightarrow p=\arctan\left[\frac{\sin P\sin\left(p+\theta\right)}{1+\sin P\cos\left(p+\theta\right)}\right] \cdots\cdots\left(6\right)

Akan dihitung besar \angle SXN menggunakan teorema kosinus segitiga bola.

\cos\left(90^\circ-\delta_{Sun}\right) \\ =\cos\left(p+\theta\right)\cos\left(90^\circ-\delta_X\right)+\sin\left(p+\theta\right)\sin\left(90^\circ-\delta_X\right)\cos\angle SXN \\ \Rightarrow \sin\delta_{Sun}=\cos\left(p+\theta\right)\sin\delta_X+\sin\left(p+\theta\right)\cos\delta_X\cos\angle SXN \\ \Rightarrow \cos\angle SXN=\frac{\sin\delta_{Sun}-\cos\left(p+\theta\right)\sin\delta_X}{\sin\left(p+\theta\right)\cos\delta_X} \\ \Rightarrow \angle SXN=\arccos\left[\frac{\sin\delta_{Sun}-\cos\left(p+\theta\right)\sin\delta_X}{\sin\left(p+\theta\right)\cos\delta_X}\right] \cdots\cdots\left(7\right)

Masih menggunakan teorema kosinus segitiga bola, dapat dihitung deklinasi teramati bintang.

\\\cos\left(90^\circ-\delta_{X'}\right)=\cos p\cos\left(90^\circ-\delta_X\right)+\sin p\sin\left(90^\circ-\delta_X\right)\cos\angle SXN \\ \sin\delta_{X'}=\cos p\sin\delta_X+\sin p\cos\delta_X\cos\angle SXN \\ \delta_{X'}=\arcsin\left(\cos p\sin\delta_X+\sin p\cos\delta_X\cos\angle SXN\right) \cdots\cdots\left(8\right)

Akhirnya menggunakan teorema empat bagian segitiga bola, bisa dihitung asensiorekta teramati bintang.

\cos\left(90^\circ-\delta_X\right)\cos\angle SXN
\\=\sin\left(90^\circ-\delta_X\right)\cot p-\sin\angle SXN\cot\Delta\alpha \\ \Rightarrow \sin\delta_X\sin\angle SXN=\cos\delta_X\cot p-\sin\angle SXN\cot\Delta\alpha \\ \Rightarrow \cot\Delta\alpha=\frac{\cos\delta_X\cot p-\sin\delta_X\cos\angle SXN}{\sin\angle SXN} \\ \Rightarrow \Delta\alpha=\arctan\left(\frac{\sin\angle SXN}{\cos\delta_X\cot p-\sin\delta_X\cos\angle SXN}\right) \cdots\cdots\left(9\right)

Jadi alih-alih terlihat pada koordinat \alpha_X dan \delta_X, bintang akan terlihat pada koordinat \alpha\pm\Delta\alpha dan \delta_{X'}.

Selesai!

Bacaan

A. E. Roy dan D. Clarke, Astronomy: Principles and Practice (Philadelphia: Institute of Physics Publishing), hlm. 125

Rules of Engagement

Saya namai permainan ini palagan. Saya membuatnya sebagai hiburan untuk murid-murid saya. Aturan permainannya mirip dengan catur dan go; unit dapat digerakkan seperti pada catur, ditaruh seperti pada go, dan ditangkap seperti pada keduanya. Namun tidak seperti keduanya, tidak ada lagi perbedaan jenis unit dan aturan penguasaan wilayah; unit memiliki pilihan gerakan seragam dan dapat ditaruh sebanyak mungkin pada bidang permainan; pemain dapat mengerahkan sebanyak mungkin pasukan yang tersedia untuk memenangkan permainan. Selain itu, petak permainan tidak berbentuk persegi, tetapi segienam untuk memungkinkan manuver pertempuran yang lebih realistis. (Palagan is the name I gave to the game. I made it as a refreshing media for my students. The gameplay is influenced by chess and go; pieces can be maneuvered like in chess, summoned like in go, and captured like in both. However, there is no longer different kinds of unit and territory occupation features; all palagan pieces are similar and can be summoned as many as possible; attrition is always an option in battle. In addition, the tiles are hexagonal, instead of rectangular, to create more realistic battle maneuver.)

The Way of Palagan

Aturan 1: Dua pemain bermain masing-masing dengan duapuluh unit. (Rule 1: Two players play with twenty pieces each.)

Tadinya, saya sempat memainkan palagan dengan 40 unit untuk tiap pemain. Rupanya, jumlah unit sebanyak ini menjadikan permainan terfokus pada menaruh saja. Batasan 20 unit untuk tiap pemain saya tetapkan untuk menjadikan palagan lebih dinamis. (I have the experience of playing palagan with 40 pieces for each player. It turned out that the game is becoming more and more focused to summoning. Therefore, I limit the pieces to 20 for each player to ensure dynamic fight.)

Aturan 2: Untuk giliran pertama, dilakukan satu manuver dan untuk giliran kedua dan selanjutnya, dilakukan paling banyak dua manuver. (Rule 2: For the first turn, only one maneuver is allowed, while for the next turns, up to two maneuvers are allowed.)

Tujuan aturan ini yaitu menghilangkan keuntungan pemain yang pertama kali menaruh unit. (The idea is to eliminate the advantage of initial player.)

Aturan 3: Untuk setiap manuver, pemain boleh memilih salah satu dari a) menaruh satu unit pada medan pada petak manapun, b) memindahkan satu unit di medan ke petak di sebelahnya, atau c) memindahkan satu unit di medan ke petak di sebelahnya sambil mendorong satu dan hanya satu unit lawan searah dengan pergerakannya. (Rule 3: For each maneuver, player may choose to a) summon a piece onto battlefield on any hex, b) move a piece on battlefield to adjacent hex, or c) move a piece on battlefield while pushing one, and only one, opponent's piece in the direction of the movement.)

Di aturan inilah, terutama, catur dan go dipadukan, dengan tambahan fitur; prajurit tentu dapat mendorong lawannya. (It's here, mainly, that the combination of chess and go is apparent, with one new feature; any soldier can push his enemy.)

Aturan 4: Gugus unit lawan ditangkap dengan mengurungnya lalu mengeluarkannya dari medan. (Rule 4: Cluster of pieces will be captured and removed from battlefield if surrounded by opponent's pieces.)

Inilah fitur yang saya suka dari go. (This is what I like from go.)

Aturan 5: Pemain tidak boleh menyebabkan gugus unitnya sendiri terkurung kecuali jika hal itu menjadikan gugus unit lawan terkurung dalam paling banyak dua manuver dalam satu giliran. (Rule 5: Suicide maneuvers, or those which result in capturing of player's own pieces, are illegal unless if doing so will capture opponent's cluster of pieces in no more than two maneuvers in a turn instead.)

Aturan ini berasal dari go, yang disesuaikan dengan aturan palagan. (I borrow this rule from go, with necessary adjustments.)

Aturan 6: Kapanpun, pemain boleh tidak melakukan satupun manuver dalam giliran manapun. (Rule 6: Anytime, player may choose not to make any maneuver.)

Bagaimanapun dalam pertempuran, kita dapat memilih untuk tidak bertindak. (Nevertheless, wait-and-see is always an option.)

Aturan 7: Unit yang telah melakukan manuver tidak boleh dikembalikan ke keadaan semula kecuali jika manuver tersebut ilegal. (Rule 7: Any maneuver cannot be undone except in the case of illegal ones.)

Mustahil waktu dapat dibalik. (It's impossible to turn back time.)

Aturan 8: Permainan berakhir jika a) kedua pemain tidak melakukan manuver dalam dua giliran berturut-turut atau b) tidak ada unit yang ditangkap atau ditaruh pada medan dalam duapuluh giliran berturut-turut. (Rule 8: The battle ends if a) two players forfeit their maneuvers in two consecutive turns or b) there is no captured or summoned piece in twenty consecutive turns.)

Inspirasi bagian pertama aturan ini berasal dari go. Sementara itu, bagian keduanya memastikan lebih jauh bahwa permainan pasti berakhir; saya membuatnya setelah memainkan, dengan murid saya, permainan yang tidak akan berakhir. (The first part of the rule comes directly from go. The second part ensures that the game will end; I formulated it after playing a never ending game with my student.)

Aturan 9: Pemenang permainan yaitu pemain yang paling banyak menangkap unit lawan. (Rule 9: The battle was won by capturing more pieces.)

Sudah jelas. (It's obvious)

Lesson from a Battlefield

Giliran 1 (Hitam): menaruh (Turn 1 (Black): summoning)

Giliran 2 (Putih): menaruh dan mendorong (Turn 2 (White): summoning and pushing)

Giliran 3 (Hitam): dua kali menaruh (Turn 3 (Black): summoning twice)

Giliran 4 (Putih): mendorong dan menaruh (Turn 4 (White): pushing and summoning)

Giliran 5 (Hitam): mendorong dan menaruh (Turn 5 (Black): pushing and summoning)

Giliran 6 (Putih): dua kali berpindah (Turn 6 (White): moving twice)

Giliran 7 (Hitam): berpindah dan mendorong (Turn 7 (Black): moving and pushing)

Giliran 8 (Putih): berpindah (Turn 8 (White): moving)

Giliran 9 (Hitam): dua kali menaruh (Turn 9 (Black): summoning twice)

Giliran 10a (Putih): menaruh dan terkurung; bunuh diri; ilegal (Turn 10a (White): summoning and surrounded; suicide; illegal)

Giliran 10b (Putih): dua kali menaruh (Turn 10b (White): summoning twice)

Giliran 11 (Hitam): dua kali menaruh (Turn 11 (Black): summoning twice)

Giliran 12 (Putih): menaruh dan mendorong (Turn 12 (White): summoning and pushing)

Giliran 13 (Hitam): mendorong, menaruh, dan menangkap tiga unit (Turn 13 (Black): pushing, summoning, and capturing three pieces)

Giliran 14 (Putih): menaruh dua kali (Turn 14 (White): summoning twice)

Giliran 15 (Hitam): dua kali berpindah (Turn 15 (Black): moving twice)

Giliran 16 (Putih): dua kali menaruh (Turn 16 (White): summoning twice)

Giliran 17 (Hitam): berpindah dan mendorong (Turn 17 (Black): moving and pushing)

Giliran 18 (Putih): dua kali menaruh (Turn 18 (White): summoning twice)

Giliran 19 (Hitam): dua kali menaruh (Turn 19 (Black): summoning twice)

Giliran 20 (Putih): dua kali menaruh (Turn 20 (White): summoning twice)

Giliran 21 (Hitam): dua kali menaruh dan menangkap satu unit (Turn 21 (Black): summoning twice and capturing one piece)

Giliran 22 (Putih): mendorong dan menaruh (Turn 22 (White): pushing and summoning)

Giliran 23 (Hitam): menaruh dan menangkap satu unit (Turn 23 (Black): summoning and capturing one piece)

Giliran 24 (Putih): dua kali menaruh dan menangkap 14 unit (Turn 24 (White): summoning twice and capturing 14 pieces)

\Giliran 25 (Hitam): dua kali menaruh (Turn 25 (Black): summoning twice)

Giliran 26 (Putih): melepas giliran (Turn 26 (White): pass)

Giliran 27 (Hitam): mendorong dan menaruh (Turn 27 (Black): pushing and summoning)

Giliran 28 (Putih): melepas giliran (Turn 28 (White): pass)

Giliran 29 (Hitam): berpindah, menaruh, dan menangkap satu unit (Turn 29 (Black): moving, summoning, and capturing one piece)

Giliran 30 (Putih): melepas giliran (Turn 30 (White): pass)

Giliran 31a (Hitam): melepas giliran; dua giliran dilepas berturut-turut; permainan berakhir (Turn 31a (Black): pass; two consecutive passes; game over)

Giliran 31b (Hitam): menaruh dan mendorong (Turn 31b (Black): summoning and pushing)

Giliran 32 (Putih): dua kali menaruh (Turn 32 (White): summoning twice)

... dan seterusnya hingga permainan berakhir. (... and so on until the end of the game.)