Tarik, Tolak, Tarik, Tolak, Tarik, ...

Inti atom berisi proton dan neutron. Proton bermuatan positif dan neutron bermuatan netral. Antara proton dengan proton tentu ada gaya tolak elektrostatis. Akan dilakukan analisis perkiraan besar gaya tolak yang dialami sebuah proton di tepi inti atom.

Gambar 1.Diagram analisis gaya tolak elektrostatis pada proton di tepi inti atom.

Berikut besar elemen gaya tolak yang dialami sebuah proton di tepi inti atom. Besaran q yaitu muatan proton di tepi inti atom, dq yaitu elemen muatan di inti atom, \theta yaitu sudut posisi dq terhadap q, r yaitu jarak dq ke sumbu vertikal inti atom, dan h yaitu ketinggian dq. Yang ditinjau yaitu komponen vertikal gaya-gaya yang bekerja karena total komponen horizontalnya bernilai nol.

\begin{aligned}
\ dF & = \frac{k q dq}{r^2 + h^2} \sin\theta
\\ & = \frac{k q}{r^2 + h^2} \frac{h}{\sqrt{r^2 + h^2}} dq
\\ & = \frac{k q h}{(r^2 + h^2)^{3/2}} dq \cdots\cdots \left( 1 \right)
\end{aligned}

Dianggap bahwa total muatan proton tersebar merata di inti atom sehingga rapat muatannya seragam. Besaran \rho yaitu rapat muatan proton, dV yaitu elemen volume yang memuat dq, Q yaitu total muatan proton di inti atom selain proton di tepi, \phi yaitu sudut azimut posisi dq, V yaitu volume inti atom, dan Z yaitu nomor atom.

Gambar 2.Elemen volume muatan di inti atom. Muatan bersifat diskrit, namun dianggap tersebar merata di dalam inti atom.

\begin{aligned}
dF & = \frac{k q h}{(r^2 + h^2)^{3/2}} \rho dV
\\ & = \frac{k q h}{(r^2 + h^2)^{3/2}} \rho dr dh (r d\phi)
\\ & = \frac{k q}{(r^2 + h^2)^{3/2}} \frac{Q}{V} h r dr dh d\phi
\\ & = \frac{k e}{(r^2 + h^2)^{3/2}} \frac{3(Z-1)e}{4\pi R^3} h r dr dh d\phi
\\ & = \frac{3k e^2 (Z-1)}{4\pi R^3} \frac{hr}{(r^2 + h^2)^{3/2}} dr dh d\phi \cdots\cdots \left( 2 \right)
\end{aligned}

Sudut azimut \phi bergerak dari 0 hingga 2π dan ketinggian h bergerak dari 0 hingga 2R. Batas atas pergerakan jarak r tergantung pada ketinggian h melalui hubungan berikut.

R^2 = (R-h)^2 + r_{maks}^2 \Rightarrow r_{maks} = \sqrt{2hR - h^2} \cdots\cdots \left( 3 \right)

Berikut total gaya tolak yang dialami sebuah proton di tepi inti atom karena proton-proton lainnya di inti atom.

\begin{aligned}
F & = \frac{3k e^2 (Z-1)}{4\pi R^3} \int_{h=0}^{2R} h \int_{r=0}^{\sqrt{2hR - h^2}} \frac{r}{(r^2 + h^2)^{3/2}} dr dh \int_{\phi=0}^{2\pi} d\phi
\\ & = \frac{3k e^2 (Z-1)}{2R^3} \int_{h=0}^{2R} h \left[ -\frac{1}{\sqrt{r^2 + h^2}} \right]_{r=0}^{\sqrt{2hR - h^2}} dh
\\ & = \frac{3k e^2 (Z-1)}{2R^3} \int_{h=0}^{2R} \left( 1 - \frac{\sqrt{h}}{\sqrt{2R}} \right) dh
\\ & = \frac{3k e^2 (Z-1)}{2R^3} \left[ h - \tfrac{1}{3}\sqrt{\frac{2}{R}} h^{3/2} \right]_{h=0}^{2R}
\\ & = \frac{ke^2(Z-1)}{R^2} \cdots\cdots \left( 4 \right)
\end{aligned}

Jika tidak ada gaya yang bekerja selain gaya elektrostatis, proton di tepi inti atom akan terlontar. Kenyataannya, terdapat atom-atom stabil, yang protonnya tidak terlontar. Ini karena adanya tarikan gaya kuat dari neutron dan proton lain. Persamaan (4) merupakan rumus nilai tarikan gaya kuat bagi proton di tepi inti atom.